Métodos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál es el método más adecuado para resolver una ecuación diferencial parcial de primer orden del tipo F(?, ?, ?, ?_?, ?_?) = 0?

Accepted Answer

Método de las características

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Separación de variables

Answer

Series de Fourier

Question 2

¿Cuál de las siguientes es una condición de contorno de Dirichlet?

Accepted Answer

Especifica los valores de la función en el límite del dominio.

Answer

Especifica la curvatura de la función en el límite del dominio.

Answer

Especifica la derivada de la función en el límite del dominio.

Question 3

Considerando la ecuación diferencial parcial ?_? = ??_??, ¿qué representa ??

Accepted Answer

Difusividad

Answer

Índice de refracción

Answer

Velocidad de onda

Answer

Constante de decaimiento

Question 4

¿Cuál de los siguientes métodos es apropiado para resolver una ecuación diferencial parcial hiperbólica de primer orden?

Accepted Answer

Método de las características

Answer

Variación de Constantes

Answer

Separación de variables

Answer

Transformada de Laplace

Question 5

Considerando la ecuación diferencial parcial ∂u/∂t + a ∂u/∂x = 0, ¿cuál es el tipo de EDP?

Accepted Answer

Ecuación de transporte

Answer

Ecuación hiperbólica

Answer

Ecuación elíptica

Answer

Ecuación parabólica

Question 6

En el método de separación de variables, ¿qué es lo que se busca?

Accepted Answer

Soluciones en forma de producto de funciones

Answer

Soluciones en forma de integrales

Answer

Soluciones en forma de series

Question 7

¿Cuál es el primer paso en el método de las características?

Accepted Answer

Formar ecuaciones diferenciales ordinarias (características) a partir de la EDP dada

Answer

Encontrar soluciones generales

Answer

Aplicar condiciones iniciales

Answer

Resolver ecuaciones auxiliares

Question 8

¿Qué tipo de transformación se utiliza para resolver EDPs usando la transformada de Laplace?

Accepted Answer

Transformada de Laplace

Answer

Transformada de Fourier

Answer

Transformada de Hankel

Answer

Transformada de Legendre

Question 9

En la solución de EDPs elípticas, ¿qué ecuación se obtiene después de aplicar la transformada de Fourier?

Accepted Answer

Ecuación algebraica

Answer

Ecuación diferencial parcial

Answer

Ecuación diferencial ordinaria

Question 10

¿Cuál de los siguientes métodos es el más adecuado para resolver la ecuación diferencial parcial $u_{xx} + u_{yy} = 0$?

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Características

Question 11

Para resolver la ecuación diferencial parcial $u_{xx} - u_{tt} = 0$ utilizando la transformada de Laplace, ¿cuál es la ecuación auxiliar?

Accepted Answer

s^2 - 1 = 0

Answer

s^2 + 1 = 0

Answer

s - 1 = 0

Answer

s + 1 = 0

Question 12

¿Cuál de los siguientes pasos es esencial en el método de separación de variables para resolver la ecuación diferencial parcial $u_{xx} + u_{yy} + u = 0$?

Accepted Answer

Factorizar la ecuación en términos de funciones de $x$ e $y$

Answer

Resolver la ecuación característica

Answer

Utilizar la transformada de Laplace

Question 13

¿Cuál de los siguientes define una condición de contorno para una ecuación diferencial parcial?

Accepted Answer

Especifica el valor de la función o su derivada en el límite del dominio.

Answer

Proporciona la solución inicial

Answer

Define la ecuación diferencial

Question 14

En el método de separación de variables, la solución de la ecuación diferencial parcial $u_{xx} = 0$ se expresa como:

Accepted Answer

u(x, y) = X(x)Y(y)

Answer

u(x, y) = X(x)y

Answer

u(x, y) = xy

Answer

u(x, y) = xY(y)

Question 15

Considerando la ecuación diferencial parcial $u_t - u_{xx} = 0$, ¿cuál es la ecuación de calor?

Accepted Answer

$u_t - u_{xx} = 0$

Answer

$u_t + u_{xx} = 0$

Answer

$u_{xx} + u_t = 0$

Answer

$u_{xx} - u_t = 0$

Question 16

¿Cuál de los siguientes métodos es apropiado para resolver la ecuación diferencial parcial $u_{xx} + u_{yy} = f(x, y)$?

Accepted Answer

Métodos numéricos

Answer

Características

Answer

Transformada de Laplace

Answer

Separación de variables

Question 17

En la ecuación diferencial parcial (u_{xx} + u_{yy} = 0), ¿qué tipo de ecuación representa?

Accepted Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de onda

Answer

Ecuación de calor

Question 18

Si (u(x, y, t)) satisface la ecuación diferencial parcial (u_t = u_{xx}), ¿qué tipo de ecuación es?

Accepted Answer

Ecuación de calor

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de onda

Answer

Ecuación de Laplace

Question 19

¿Qué ecuación se asocia con el método de las características?

Accepted Answer

Ecuación característica

Answer

Ecuación de Euler

Answer

Ecuación diferencial ordinaria

Answer

Ecuación en derivadas parciales

Question 20

¿En qué escenarios es aplicable el método de separación de variables?

Accepted Answer

Cuando la ecuación diferencial parcial es lineal y sus variables pueden separarse

Answer

Cuando la ecuación diferencial parcial es no lineal

Answer

Cuando las variables no pueden separarse

Question 21

¿Cuál es la condición inicial asociada a la ecuación diferencial parcial (u_{xx} + u_{yy} = 0)?

Accepted Answer

Especificar el valor de (u) o su derivada en una curva específica

Answer

Especificar el valor de (u) en un dominio

Answer

Especificar el valor de (u) en un punto

Question 22

¿Qué técnica se emplea para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales?

Accepted Answer

Métodos numéricos (por ejemplo, método de diferencias finitas)

Answer

Separación de variables

Answer

Método de las características

Question 23

En el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, ¿cuál es el procedimiento estándar para obtener las soluciones separadas?

Accepted Answer

Suponer que la solución es un producto de dos funciones, una función de x y otra de y.

Answer

Usar transformaciones lineales para simplificar la ecuación.

Answer

Resolver la ecuación mediante un método numérico, como el método de diferencias finitas.

Question 24

Considerando la ecuación de difusión de calor  ∂u/∂t = ∂²u/∂x², ¿cuál de los siguientes conjuntos de condiciones de contorno garantizará una solución única?

Accepted Answer

Valor de u en x = 0 y x = L, y valor de ∂u/∂t en t = 0.

Answer

Solo valor de ∂u/∂t en t = 0.

Answer

Solo valor de u en x = 0 y x = L.

Question 25

En el método de transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales parciales, ¿cuál es el objetivo de utilizar la transformada inversa de Laplace?

Accepted Answer

Recuperar la solución original en el dominio del tiempo.

Answer

Resolver la ecuación en el dominio de la frecuencia.

Answer

Convertir la ecuación a una forma algebraica.

Question 26

¿Cuál de las siguientes técnicas es apropiada para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden?

Accepted Answer

Método de las características.

Answer

Método de separación de variables.

Answer

Método de transformada de Laplace.

Answer

Método de diferencias finitas.

Question 27

Considerando la ecuación de onda  ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x², ¿cuál es la velocidad de propagación de las ondas?

Accepted Answer

c.

Answer

c².

Answer

1/c².

Answer

1/c.

Question 28

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las ecuaciones diferenciales parciales no lineales es verdadera?

Accepted Answer

Pueden exhibir soluciones múltiples o caóticas.

Answer

Su comportamiento es siempre predecible.

Answer

Son más fáciles de resolver que las ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Answer

Siempre tienen soluciones únicas.

Question 29

Considerando la ecuación de Navier-Stokes, ¿qué representa el término  ∂u/∂t?

Accepted Answer

Aceleración local del fluido.

Answer

Viscosidad del fluido.

Answer

Fuerza externa aplicada al fluido.

Answer

Gradiente de presión.

Question 30

En la resolución de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de elementos finitos, ¿qué representa una función de forma?

Accepted Answer

Interpolación local de la solución sobre un elemento finito.

Answer

Función que satisface las condiciones de contorno.

Answer

Aproximación de la solución en todo el dominio.

Question 31

La transformada de Laplace se emplea principalmente para resolver EDP de:

Accepted Answer

Coeficientes constantes

Answer

Variables separables

Answer

Orden arbitrario

Answer

Características no lineales

Question 32

¿Cuál es la solución general de la EDP ∂u/∂x - ∂u/∂y = 0?

Accepted Answer

u(x, y) = f(x+y) + g(x-y)

Answer

u(x, y) = x^2 + y^2

Answer

u(x, y) = f(x/y)

Answer

u(x, y) = f(x) g(y)

Question 33

En el método de las características, las curvas integrables:

Accepted Answer

Son tangentes a la dirección del campo de gradiente

Answer

Forman un ángulo fijo con las características

Answer

Son paralelas al eje y

Question 34

Una condición de frontera de Dirichlet especifica que:

Accepted Answer

El valor de la función en el borde es conocido

Answer

La función es periódica en el borde

Answer

La derivada tangencial de la función en el borde es cero

Answer

La derivada normal de la función en el borde es cero

Question 35

Considera la EDP ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0. ¿Qué tipo de EDP es esta?

Accepted Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de onda

Question 36

¿Cuál es la solución fundamental de la ecuación de calor?

Accepted Answer

Función gaussiana

Answer

Función de Legendre

Answer

Función de Bessel

Question 37

¿Cuál es el primer paso para resolver una ecuación diferencial parcial utilizando la transformada de Laplace?

Accepted Answer

Transformar la ecuación a dominio s

Answer

Resolver la ecuación en dominio s

Answer

Transformar la ecuación a dominio t

Answer

Resolver la ecuación en dominio t

Question 38

¿Qué tipo de condiciones de contorno se utilizan para resolver la ecuación de onda?

Accepted Answer

Condiciones de contorno de Cauchy

Answer

Condiciones de contorno de Dirichlet

Answer

Condiciones de contorno de Neumann

Question 39

¿Qué operador se utiliza para representar la derivada parcial con respecto a t?

Accepted Answer

∂/∂t

Answer

δ/∂t

Answer

∇/∂t

Answer

D/Dt

Question 40

Considera la ecuación diferencial parcial ∂u/∂t = k ∂²u/∂x². ¿Qué tipo de ecuación es?

Accepted Answer

Ecuación de difusión

Answer

Ecuación de Poisson

Answer

Ecuación de onda

Answer

Ecuación de Laplace

Question 41

Indica cuál de los siguientes es un problema bien planteado de EDP:

Accepted Answer

La ecuación, las condiciones de contorno y las condiciones iniciales están claramente definidas

Answer

Solo las condiciones de contorno están definidas

Answer

Solo la ecuación está definida