Sistemas de Ecuaciones Diferenciales: Cuestionarios y Ejercicios Interactivos

Question 1

El sistema de ecuaciones diferenciales: 
dx/dt = y 
dy/dt = -x - y + e^t 
es un sistema:

Accepted Answer

Lineal no homogéneo

Answer

Lineal homogéneo

Answer

No lineal no homogéneo

Answer

No lineal homogéneo

Question 2

El sistema de ecuaciones diferenciales: 
dx/dt = Ax + By 
dy/dt = Cx + Dy 
donde A, B, C, D son constantes, es lineal si:

Accepted Answer

A, B, C, D son constantes

Answer

A, B, C, D son funciones de t

Answer

A, B son constantes y C, D son funciones de t

Answer

C, D son constantes y A, B son funciones de t

Question 3

¿Cuál es el método de resolución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos?

Accepted Answer

Variación de parámetros

Answer

Eliminación

Answer

Separación de variables

Answer

Sustitución

Question 4

Para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, ¿cuál es el primer paso?

Accepted Answer

Reducir la matriz de coeficientes a forma escalonada reducida

Answer

Sustituir una ecuación diferencial en otra y resolver

Answer

Resolver la ecuación característica del sistema

Answer

Encontrar los autovalores y autovectores de la matriz de coeficientes

Question 5

En el contexto de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ¿qué afirma el principio de superposición?

Accepted Answer

La solución de un sistema con múltiples funciones de fuerza es la suma de las soluciones de cada función de fuerza considerada individualmente.

Answer

El sistema siempre tiene una solución trivial

Answer

Los valores propios del sistema son siempre reales

Answer

La solución del sistema es única si y solo si la matriz de coeficientes es diagonalizable.

Question 6

En el contexto de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, ¿qué es un vector propio?

Accepted Answer

Un vector no nulo que, multiplicado por la matriz de coeficientes, da como resultado un múltiplo del mismo vector.

Answer

Un vector que tiene una norma igual a 1

Answer

Un vector que es paralelo a uno de los ejes coordenados

Answer

Un vector que apunta en la dirección del gradiente de la función.

Question 7

Considera el sistema x' = 2x - y, y' = x + 2y. ¿Cuál es el conjunto de soluciones fundamentales para este sistema?

Accepted Answer

e^(2t) [cos(t), sin(t)]

Answer

e^(t) [cos(t), sin(t)]

Answer

e^(t) [sen(t), cos(t)]

Answer

e^(2t) [sen(t), cos(t)]

Question 8

En el contexto de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, ¿qué es una ecuación exacta?

Accepted Answer

Una ecuación diferencial que puede escribirse como la derivada total de una función.

Answer

Una ecuación diferencial que puede resolverse mediante separación de variables.

Answer

Una ecuación diferencial que tiene una solución constante.

Answer

Una ecuación diferencial que es lineal en sus derivadas

Question 9

Considera el sistema x' = x + y, y' = -x + y. ¿Es este sistema autónomo?

Accepted Answer

Sí

Answer

Solo si x = 0

Answer

Solo si y = 0

Answer

No

Question 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales?

Accepted Answer

El comportamiento cualitativo del sistema está determinado por sus valores propios.

Answer

Los sistemas lineales siempre tienen soluciones limitadas.

Answer

Los valores propios de un sistema siempre son reales

Answer

La estabilidad del sistema depende solo de los términos constantes.

Question 11

¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden?

Accepted Answer

Su orden es mayor que 1

Answer

Son homogéneas

Answer

Son lineales

Answer

Pueden tener coeficientes constantes

Question 12

En la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ¿qué método implica multiplicar ambas ecuaciones por factores apropiados para eliminar una variable?

Accepted Answer

Eliminación de variables

Answer

Separación de variables

Answer

Sustitución

Answer

Factorización

Question 13

¿Cuál de los siguientes métodos se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales de primer orden?

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Eliminación de Gauss-Jordan

Answer

Sustitución

Answer

Integración por partes

Question 14

En el contexto de las ecuaciones diferenciales, ¿qué es un campo vectorial?

Accepted Answer

Una función que asigna un vector a cada punto en un dominio

Answer

Una función que asigna un número a cada punto en un dominio

Answer

Un conjunto de vectores que forman una base

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es correcta?

Accepted Answer

Son sistemas expresados en la forma y' = A y + b, donde A es una matriz constante y b es un vector constante

Answer

Son sistemas que únicamente pueden resolverse mediante métodos numéricos

Answer

Son sistemas que siempre poseen soluciones únicas

Question 16

¿En qué campo se aplica el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: y' = -ky, x' = f(x)?

Accepted Answer

Movimiento de objetos bajo la influencia de fuerzas y amortiguamiento

Answer

Circuitos eléctricos

Answer

Transferencia de calor

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es falsa?

Accepted Answer

Son siempre linealmente independientes

Answer

Son únicas

Answer

Son continuas

Answer

Son diferenciables infinitamente

Question 18

El método de la matriz exponencial se utiliza apropiadamente para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden cuando:

Accepted Answer

El sistema es homogéneo y constante

Answer

El sistema es no lineal

Answer

El sistema es lineal pero no constante

Answer

El sistema es no homogéneo

Question 19

¿Cuál es la condición de estabilidad del punto singular (0, 0) del sistema de ecuaciones diferenciales y' = -y + x, x' = y - x?

Accepted Answer

Estable

Answer

Inestable

Answer

Foco impropio

Answer

Centro

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es correcta?

Accepted Answer

Son sistemas de ecuaciones que involucran derivadas parciales de primer orden de las variables dependientes.

Answer

Solo pueden resolverse mediante métodos analíticos.

Answer

Siempre tienen soluciones únicas.

Question 21

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo, se puede utilizar el método de:

Accepted Answer

Variación de constantes.

Answer

Eliminación.

Answer

Autovalores.

Answer

Reducción de orden.

Question 22

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden $\frac{dx}{dt} = 2x + y$, $\frac{dy}{dt} = -x + 2y$ es:

Accepted Answer

Un sistema autónomo.

Answer

Un sistema periódico.

Answer

Un sistema caótico.

Answer

Un sistema no lineal.

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es correcta?

Accepted Answer

Pueden ser únicas o múltiples según las condiciones iniciales.

Answer

Siempre son múltiples.

Answer

Siempre son únicas.

Question 24

Considera el sistema de ecuaciones diferenciales: 
x' = y - x
y' = x + y
¿Es este sistema autónomo?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Depende de las condiciones iniciales

Answer

No se puede determinar

Question 25

En el contexto de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, ¿cuál es el significado del valor propio asociado a una solución?

Accepted Answer

Determina el comportamiento asintótico de la solución.

Answer

Indica la amplitud de la solución.

Answer

Determina la estabilidad de la solución.

Answer

Representa la frecuencia de la solución.

Question 26

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales presentan aplicaciones en varios campos. ¿En cuál de los siguientes campos NO se utilizan?

Accepted Answer

Contabilidad

Answer

Física

Answer

Biología

Answer

Ingeniería

Question 27

El concepto de estabilidad es crucial en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. ¿Qué significa que un sistema sea asintóticamente estable?

Accepted Answer

Todas las soluciones tienden al origen cuando t tiende a infinito.

Answer

Todas las soluciones oscilan alrededor del origen cuando t tiende a infinito.

Answer

Todas las soluciones divergen cuando t tiende a infinito.

Answer

Todas las soluciones son constantes cuando t tiende a infinito.

Question 28

Indica cuál de las siguientes expresiones representa un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

Accepted Answer

dx/dt = 2x + y, dy/dt = x - y

Answer

d^2x/dt^2 + kx = 0

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

sen(x) + y' = 0

Question 29

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es verdadera?

Accepted Answer

Son una combinación lineal de funciones exponenciales.

Answer

Son únicas.

Answer

Son siempre funciones polinómicas.

Question 30

Indica una aplicación de los sistemas de ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería eléctrica:

Accepted Answer

Modelado de circuitos eléctricos.

Answer

Diseño de estructuras mecánicas.

Answer

Análisis de datos biológicos.

Answer

Simulación de procesos químicos.

Question 31

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales dx/dt = x + y, dy/dt = -x + y. ¿Cuál es la solución general del sistema?

Accepted Answer

x(t) = c₁e^(√2t) + c₂e^(-√2t), y(t) = c₁e^(√2t) - c₂e^(-√2t)

Answer

x(t) = c₁cos(√2t) + c₂sin(√2t), y(t) = c₁cos(√2t) - c₂sin(√2t)

Answer

x(t) = c₁e^t + c₂e^(-t), y(t) = c₁e^t - c₂e^(-t)

Question 32

Sean x(t) e y(t) las soluciones del sistema dx/dt = Ax, donde A es una matriz 2x2. Si se sabe que x(0) = [1, 0]^T e y(0) = [0, 1]^T, ¿cuál de las siguientes matrices es A?

Accepted Answer

A = [[0, 1], [-1, 0]]

Answer

A = [[-1, 0], [0, -1]]

Answer

A = [[0, -1], [1, 0]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Question 33

Consideremos el sistema dx/dt = -y, dy/dt = x. ¿Cuál es el tipo de punto crítico del sistema?

Accepted Answer

Centro

Answer

Silla de montar

Answer

Nodo inestable

Answer

Nodo estable

Question 34

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el sistema dx/dt = -x, dy/dt = y?

Accepted Answer

El sistema tiene una solución estable única en (0, 0).

Answer

El sistema tiene una solución inestable única en (0, 0).

Answer

El sistema tiene múltiples soluciones estables.

Question 35

Consideremos el sistema dx/dt = Ax, donde A es una matriz 2x2 con valores propios λ₁, λ₂. Si λ₁ = 2 y λ₂ = -1, ¿cuál es el tipo de punto crítico?

Accepted Answer

Silla de montar

Answer

Nodo estable

Answer

Nodo inestable

Answer

Centro

Question 36

Sean x(t) e y(t) soluciones del sistema dx/dt = x - y, dy/dt = x + y. ¿Cuál es el determinante de la matriz de Jacobi del sistema?

Accepted Answer

-2

Answer

0

Answer

-4

Question 37

Consideremos el sistema dx/dt = y, dy/dt = -x + y². ¿En qué punto del plano xy se encuentra el punto crítico del sistema?

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, 0)

Answer

(-1, 0)

Answer

(0, 1)

Question 38

Determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modela el siguiente sistema físico:

Accepted Answer

x' = y, y' = -x

Answer

x' = y - x, y' = -x - y

Answer

x' = y + x, y' = -x + y

Answer

x' = -y, y' = x

Question 39

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

Accepted Answer

x(t) = c1*e^(2t) + c2*e^(-t), y(t) = -c1*e^(2t) + c2*e^(-t)

Answer

x(t) = c1*e^(t) + c2*e^(-2t), y(t) = c1*e^(t) - c2*e^(-2t)

Answer

x(t) = c1*e^(3t) + c2*e^(-2t), y(t) = -c1*e^(3t) + c2*e^(-2t)

Question 40

¿Cuál de las siguientes aplicaciones NO está relacionada con los sistemas de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Diseño de puentes

Answer

Predicción del clima

Answer

Modelado de circuitos eléctricos

Answer

Análisis de crecimiento de poblaciones

Question 41

Determinar el tipo de punto crítico del sistema de ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Punto silla

Answer

Nodo estable

Answer

Nodo inestable

Answer

Foco

Question 42

Encontrar la solución general del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

x(t) = c1*cos(t) + c2*sin(t), y(t) = c3*cos(t) + c4*sin(t)

Answer

x(t) = c1*e^(t*cos(t)) + c2*e^(t*sin(t)), y(t) = c3*e^(-t*cos(t)) + c4*e^(-t*sin(t))

Answer

x(t) = c1*t*cos(t) + c2*t*sin(t), y(t) = c3*t*cos(t) + c4*t*sin(t)

Question 43

¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza la existencia y unicidad de la solución para un sistema de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Que las funciones f y g sean continuas y que ∂f/∂x y ∂g/∂y existan y sean continuas

Answer

Que las funciones f y g sean derivables y que ∂f/∂x y ∂g/∂y existan

Answer

Que las funciones f y g sean integrables y que ∂f/∂x y ∂g/∂y existan

Question 44

Determinar la estabilidad del sistema de ecuaciones diferenciales:

Accepted Answer

Asintóticamente estable

Answer

Estable en espiral

Answer

Inestable

Answer

Marginalmente estable

Question 45

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales?

Accepted Answer

Separación de variables

Answer

Eliminación

Answer

Sustitución

Answer

Factorización integral

Question 46

Determinar la solución particular del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales dadas:

Accepted Answer

x(t) = e^(-t) + t*e^(-t), y(t) = t*e^(-t)

Answer

x(t) = e^(t) + t*e^(t), y(t) = t*e^(t)

Answer

x(t) = e^(-t) + t*e^(t), y(t) = t*e^(t)

Answer

x(t) = e^(t) + t*e^(-t), y(t) = t*e^(-t)

Question 47

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales es verdadera?

Accepted Answer

Pueden modelar fenómenos complejos que involucran múltiples variables dependientes.

Answer

Son fáciles de resolver analíticamente.

Answer

Siempre tienen una solución única.