Teoría de Grupos: Conceptos, Propiedades y Aplicaciones

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre grupos es incorrecta?

Accepted Answer

Todo grupo tiene al menos un subgrupo propio.

Answer

Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple ciertas propiedades.

Answer

El elemento neutro es único en un grupo.

Answer

El orden de un grupo es el número de elementos que contiene.

Question 2

¿Cuál es el orden del grupo (ℤ, +)?

Accepted Answer

Infinito

Answer

2

Answer

0

Answer

1

Question 3

¿Es el conjunto de números enteros positivos bajo la operación de multiplicación un grupo?

Accepted Answer

No, porque no tiene elemento neutro.

Answer

Sí

Answer

No, porque no es cerrado.

Answer

No, porque no es asociativo.

Question 4

¿Es el conjunto de matrices cuadradas 2x2 con determinante 1 bajo la operación de multiplicación un grupo?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no tiene elemento neutro.

Answer

No, porque no es cerrado.

Answer

No, porque no es asociativo.

Question 5

¿Cuál es la inversa del elemento (2, 3) en el grupo (ℤ6 x ℤ4, +)?

Accepted Answer

(4, 1)

Answer

(2, 1)

Answer

(0, 0)

Answer

(6, 3)

Question 6

¿Cuál de las siguientes propiedades NO es un axioma de un grupo?

Accepted Answer

La operación es conmutativa

Answer

Existe un elemento neutro

Answer

Para cada elemento existe un inverso

Answer

La operación es asociativa

Question 7

En el grupo aditivo de los números enteros, ¿cuál es el inverso aditivo del elemento -5?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

0

Answer

-5

Question 8

Considerando el grupo multiplicativo de los números reales positivos, ¿cuál es el subgrupo generado por el conjunto {2, 3}?

Accepted Answer

El conjunto de las potencias de 2 y 3

Answer

El conjunto de todos los números reales positivos

Answer

El conjunto de los números enteros positivos

Answer

El conjunto de los números racionales positivos

Question 9

El grupo de simetrías de un cuadrado es isomorfo a qué grupo?

Accepted Answer

D4

Answer

S4

Answer

Z4

Question 10

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO forma un grupo bajo la operación de multiplicación?

Accepted Answer

El conjunto de los números enteros negativos

Answer

El conjunto de los números reales positivos

Answer

El conjunto de los números complejos

Answer

El conjunto de las matrices invertibles

Question 11

El conjunto de permutaciones de 3 elementos (S3) forma un grupo con respecto a la composición de funciones. ¿Es esto cierto?

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso, no es asociativo

Answer

Falso, no tiene elemento neutro

Answer

Falso, no tiene elemento inverso para cada elemento

Question 12

El grupo Z bajo la operación de suma, ¿cuál es su orden?

Accepted Answer

Infinito

Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 13

¿Cuál de las siguientes condiciones es equivalente a que un grupo sea cíclico?

Accepted Answer

Todos los elementos del grupo se pueden generar a partir de una sola potencia de un elemento.

Answer

El grupo tiene un subgrupo normal con un solo elemento.

Answer

El grupo es abeliano y finito.

Answer

El grupo es conmutativo y finito.

Question 14

Identifica la función que es un isomorfismo del grupo Z bajo la suma con el grupo de números enteros pares bajo la suma.

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sen(x)

Question 15

¿Cuál es la definición formal de un grupo?

Accepted Answer

Un conjunto con una operación binaria que satisface las propiedades asociativa, identidad e inversa.

Answer

Un conjunto con una operación binaria que satisface la propiedad conmutativa.

Answer

Un conjunto con una operación unaria que satisface la propiedad asociativa.

Question 16

En un grupo cíclico, ¿cuál es la propiedad del orden del grupo?

Accepted Answer

Es igual al número de elementos del grupo.

Answer

Es igual al número de elementos invertibles del grupo.

Answer

Es igual al número de generadores del grupo.

Answer

Es igual al número de subgrupos propios del grupo.

Question 17

¿Cuál de las siguientes propiedades define un subgrupo?

Accepted Answer

Es un subconjunto del grupo que también es un grupo bajo la misma operación.

Answer

Es un subconjunto del grupo que contiene todos los elementos invertibles.

Answer

Es un subconjunto del grupo que conmuta con todos los demás elementos del grupo.

Question 18

Dados los elementos a y b de un grupo, ¿cuál de las siguientes relaciones representa la propiedad asociativa?

Accepted Answer

(a * b) * c = a * (b * c)

Answer

a * e = a

Answer

a * (b * c) = c * (a * b)

Answer

a * b = b * a

Question 19

En un grupo con identidad e, ¿cuál es el inverso de e?

Accepted Answer

El propio e

Answer

El elemento invertible

Answer

El elemento neutro

Answer

El generador del grupo

Question 20

¿Cuál es el orden del grupo Z_4?

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

2

Answer

16

Question 21

¿Es el grupo Z_n cíclico?

Accepted Answer

Sí, para todo n mayor que 1

Answer

No, si n es par

Answer

No, si n es primo

Question 22

En un grupo, ¿cuál es la definición de un generador?

Accepted Answer

Un elemento cuyo conjunto de potencias positivas genera todos los elementos del grupo.

Answer

Un elemento que tiene su propio inverso.

Answer

Un elemento que conmuta con todos los demás elementos del grupo.

Question 23

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para un grupo con elementos distintos de la identidad?

Accepted Answer

No es necesariamente abeliano.

Answer

Es cíclico.

Answer

Tiene un número finito de elementos.

Answer

Es isomorfo al grupo Z.

Question 24

Un grupo es una estructura algebraica que satisface las siguientes propiedades, excepto:

Accepted Answer

Existencia de un elemento identidad conmutativo

Answer

Cierre de la operación

Answer

Asociatividad de la operación

Answer

Existencia de un elemento inverso para cada elemento

Question 25

El orden de un grupo es el:

Accepted Answer

Número de elementos del grupo

Answer

Número de operaciones que se pueden realizar en el grupo

Answer

Suma de los órdenes de todos los subgrupos del grupo

Question 26

Un subgrupo de un grupo G es un:

Accepted Answer

Conjunto de elementos de G que forma un grupo bajo la misma operación

Answer

Conjunto de elementos de G que son inversos entre sí

Answer

Conjunto de elementos de G que conmuta con todos los demás elementos de G

Question 27

Un ejemplo de grupo cíclico es:

Accepted Answer

Los números enteros bajo la suma módulo 5

Answer

Las matrices de orden 2 bajo la multiplicación

Answer

Los números racionales bajo la multiplicación

Answer

Los números complejos bajo la adición

Question 28

El orden de un grupo cíclico generado por el elemento a es:

Accepted Answer

Orden del elemento a

Answer

Número de elementos del grupo

Answer

Suma de los órdenes de todos los elementos del grupo

Answer

Producto de los órdenes de todos los elementos del grupo

Question 29

El grupo de permutaciones de un conjunto con n elementos es isomorfo al:

Accepted Answer

Grupo simétrico de grado n

Answer

Grupo de Klein

Answer

Grupo alterno de grado n

Answer

Grupo cíclico de orden n

Question 30

Sobre el grupo de Klein, es cierto que:

Accepted Answer

Es no abeliano y de orden 4

Answer

Es de orden 8

Answer

Es abeliano de orden 3

Answer

Es cíclico de orden 4

Question 31

El centro de un grupo G es el conjunto de elementos que:

Accepted Answer

Conmutan con todos los demás elementos de G

Answer

Forman subgrupos normales de G

Answer

Son inversos de sí mismos

Question 32

El grupo de las unidades del anillo de los enteros módulo 6 es:

Accepted Answer

Grupo cíclico de orden 2

Answer

Grupo cíclico de orden 6

Answer

Grupo no abeliano de orden 3

Answer

Grupo abeliano de orden 4

Question 33

La definición de grupo es:

Accepted Answer

Conjunto no vacío con una operación asociativa, identidad e inversa

Answer

Relación reflexiva, simétrica y transitiva

Answer

Conjunto finito con elementos distintos

Question 34

El siguiente conjunto NO es un grupo respecto a la suma:

Accepted Answer

Enteros positivos

Answer

Números reales

Answer

Números complejos

Answer

Números racionales

Question 35

Un grupo cíclico de orden n tiene exactamente

Accepted Answer

n elementos

Answer

n+1 elementos

Answer

2n elementos

Answer

n-1 elementos

Question 36

¿Cuál de los siguientes grupos es abeliano?

Accepted Answer

Grupo de los números enteros respecto a la suma

Answer

Grupo de las funciones reales continuas respecto a la composición

Answer

Grupo de las permutaciones de 3 elementos respecto a la composición

Answer

Grupo de las matrices 2x2 invertibles respecto a la multiplicación

Question 37

Un grupo es simple si

Accepted Answer

No tiene subgrupos normales distintos de él mismo y el grupo trivial

Answer

Tiene un solo subgrupo normal

Answer

Todos sus subgrupos son cíclicos

Question 38

Sea G un grupo finito de orden 10. ¿Cuántos subgrupos de orden 5 puede tener G?

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

2

Answer

3

Question 39

En el grupo Z₄, el elemento 2 es:

Accepted Answer

De orden 2

Answer

De orden 1

Answer

De orden 4

Answer

De orden 3

Question 40

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un grupo bajo la operación usual de suma módulo 5?

Accepted Answer

{0, 1, 2, 3, 4}

Answer

{0, 1, 2, 4}

Answer

{0, 1, 3, 4}

Answer

{1, 2, 3, 4}

Question 41

Sea G un grupo y a un elemento de G. El conjunto {aⁿ | n ∈ Z} se denomina:

Accepted Answer

Grupo cíclico generado por a

Answer

Subgrupo de G

Answer

Conjunto conmutativo

Answer

Clase de equivalencia de a

Question 42

En el grupo de las permutaciones de 3 elementos, S₃, ¿cuál de las siguientes permutaciones es de orden 2?

Accepted Answer

(1 2)

Answer

(1 3 2)

Answer

(1 2 3)

Answer

(1)

Question 43

Sea G un grupo abeliano finito. Entonces, el centro de G, Z(G), tiene orden:

Accepted Answer

Igual al orden de G

Answer

Menor que el orden de G

Answer

No necesariamente relacionado con el orden de G

Answer

Mayor que el orden de G

Question 44

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre los grupos?

Accepted Answer

Todo grupo es un monoide.

Answer

Todo monoide es un grupo.

Answer

Todo anillo es un grupo.

Answer

Todo grupo es un anillo.