Fórmulas de Integración: Trapecio, Simpson y Gauss - Métodos Numéricos

Question 1

Error de truncamiento de la regla de Gauss 2 puntos:

Accepted Answer

-((b - a)^5 / 90) * f''''(c), donde c está en [-1, 1]

Answer

-((b - a)^5 / 90) * f'''(c)

Answer

-((b - a)^4 / 90) * f'''''(c)

Answer

-((b - a)^4 / 90) * f'''(c)

Question 2

¿Cuál es la principal ventaja de utilizar la fórmula de Gauss-Legendre en comparación con las fórmulas de Trapecio y Simpson?

Accepted Answer

Mayor precisión para el mismo número de puntos de evaluación.

Answer

Facilidad de implementación

Answer

Menor costo computacional

Question 3

¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para aproximar la integral de una función $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ usando la regla del trapecio?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(x)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) - f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(a)]

Question 4

¿Qué método de integración numérica se recomienda para calcular integrales impropias de funciones con singularidades en los límites de integración?

Accepted Answer

Fórmulas de integración generalizadas

Answer

Regla de Simpson

Answer

Regla del trapecio

Answer

Regla de Gauss

Question 5

¿Cuál de las siguientes funciones puede presentar dificultades al integrarse numéricamente utilizando los métodos habituales?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 6

¿Qué técnica se utiliza para mejorar la precisión de las integraciones numéricas cuando los integrandos oscilan rápidamente?

Accepted Answer

Subdivisión adaptativa

Answer

Cambio de variable

Answer

Integración iterativa

Answer

Uso de fórmulas de integración de orden superior

Question 7

¿Qué tipo de error se genera cuando el tamaño de los subintervalos en una integración numérica es excesivamente grande?

Accepted Answer

Error de truncamiento

Answer

Error de redondeo

Answer

Error de estimación

Answer

Error de interpolación

Question 8

La regla de Simpson 1/3 para aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b] con n subintervalos de igual longitud h se define como:

Accepted Answer

∫a^b f(x) dx ≈ h/3 [f(a) + 4∑(i=1 to n/2-1) f(a+2ih) + 2∑(i=1 to n/2-1) f(a+(2i+1)h) + f(b)]

Answer

∫a^b f(x) dx ≈ h/2 [f(a) + ∑(i=1 to n-1) f(a+ih) + f(b)]

Answer

∫a^b f(x) dx ≈ h/2 [f(a) + 2∑(i=1 to n-1) f(a+ih) + f(b)]

Question 9

La fórmula de cuadratura de Gauss-Legendre con n puntos de integración para aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [-1, 1] se define como:

Accepted Answer

∫-1^1 f(x) dx ≈ ∑(i=1 to n) w_i f(x_i)

Answer

∫-1^1 f(x) dx ≈ ∑(i=0 to n) w_i f(x_i)

Answer

∫-1^1 f(x) dx ≈ ∑(i=1 to n) w_i f(x_i-1)

Answer

∫-1^1 f(x) dx ≈ ∑(i=1 to n) w_i f(x_i+1)

Question 10

El error de la regla del trapecio para aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b] con n subintervalos de igual longitud h se expresa como:

Accepted Answer

-h^2/12 * f''(ξ)

Answer

h^2/12 * f''(ξ)

Answer

-h^3/12 * f''(ξ)

Answer

-h^2/24 * f''(ξ)

Question 11

Se desea aproximar la integral de la función f(x) = x^2 en el intervalo [0, 1] utilizando la regla del trapecio con 2 subintervalos. ¿Cuál es el valor aproximado de la integral?

Accepted Answer

0.375

Answer

0.25

Answer

0.5

Question 12

En general, ¿cuál de los siguientes métodos de integración numérica suele proporcionar una mayor precisión para una cantidad fija de subintervalos?

Accepted Answer

Cuadratura de Gauss-Legendre

Answer

Regla del Trapecio

Answer

Regla de Simpson 1/3

Answer

Todos los métodos tienen la misma precisión para la misma cantidad de subintervalos.

Question 13

¿Cuál es la principal ventaja de la regla de Simpson 1/3 sobre la regla del trapecio para la integración numérica?

Accepted Answer

Es más precisa para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3.

Answer

Se puede utilizar para cualquier función, mientras que la regla del trapecio solo funciona para funciones lineales.

Answer

Siempre utiliza menos cálculos.

Question 14

Se quiere aproximar la integral de una función f(x) en el intervalo [0, 2] utilizando la regla del trapecio. Si se divide el intervalo en dos subintervalos de igual longitud, ¿cuál es la expresión correcta para la aproximación?

Accepted Answer

(f(0) + 2*f(1) + f(2)) / 2

Answer

(f(0) + f(1) + f(2)) / 2

Answer

(f(0) + f(2))

Answer

(f(0) + 2*f(1) + f(2))

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la regla de Simpson 3/8?

Accepted Answer

Utiliza polinomios de cuarto grado para aproximar la función.

Answer

Siempre es menos precisa que la regla de Simpson 1/3.

Answer

Es una regla de integración abierta.

Question 16

¿Para qué tipo de funciones se integra exactamente la cuadratura de Gauss con tres puntos?

Accepted Answer

Polinomios de grado 5 o menor.

Answer

Todas las funciones continuas.

Answer

Funciones trigonométricas.

Answer

Funciones exponenciales.

Question 17

Se utiliza la regla de Simpson 1/3 para aproximar la integral de una función con un error absoluto menor que 0,01. ¿Qué se debe hacer para garantizar que se cumpla este requisito de error?

Accepted Answer

Subdividir el intervalo de integración en intervalos más pequeños hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas sea menor que 0,01.

Answer

Utilizar la regla del trapecio en su lugar.

Question 18

¿Cuál de las siguientes fórmulas representa la regla del trapecio compuesta para la integración numérica?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2*Σ(i=1,n-1) f(a+i*h) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ h * [f(a) + f(b)] / 2

Question 19

Se aplica la regla de Simpson 1/3 con 4 subintervalos para aproximar la integral de una función. Si se duplica el número de subintervalos, ¿cómo se espera que cambie el error de la aproximación?

Accepted Answer

El error se reduce aproximadamente por un factor de 16.

Answer

El error se reduce aproximadamente por un factor de 8.

Answer

El error se reduce aproximadamente por un factor de 4.

Question 20

¿Cuál es la principal diferencia entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cuadratura de Gauss para la integración numérica?

Accepted Answer

La cuadratura de Gauss utiliza puntos de evaluación óptimos para maximizar la precisión, mientras que las fórmulas de Newton-Cotes utilizan puntos equidistantes.

Answer

Las fórmulas de Newton-Cotes son más precisas que la cuadratura de Gauss para funciones polinómicas.

Question 21

Dada una tabla con valores de una función f(x) en puntos equidistantes, ¿qué método de integración numérica sería el más adecuado para calcular la integral de f(x) si se busca la máxima precisión posible?

Accepted Answer

Cuadratura de Gauss.

Answer

Regla del trapecio.

Answer

Regla de Simpson 1/3.

Answer

Todos los métodos darían la misma precisión.

Question 22

¿Para qué tipo de funciones las fórmulas de integración numérica, como la regla del trapecio, la regla de Simpson y la cuadratura de Gauss, podrían proporcionar resultados inexactos?

Accepted Answer

Funciones con discontinuidades, oscilaciones rápidas o asíntotas verticales en el intervalo de integración.

Answer

Funciones polinómicas de bajo grado.

Question 23

Calcula la integral de la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π/2] usando la Regla del Trapecio con n=4.

Accepted Answer

1,0000

Answer

0,9375

Answer

0,9688

Question 24

Determina el error estimado para la aproximación de la integral de f(x) = e^x en [0, 1] usando la Regla de Simpson con n=6.

Accepted Answer

0,0016

Answer

0,0008

Answer

0,0022

Answer

0,0033

Question 25

Cuál es el número mínimo de puntos de integración que se necesitan para calcular la integral de la función f(x) = x^3 en [0, 1] con un error absoluto menor que 0,001 utilizando la Cuadratura de Gauss?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

5

Answer

3

Question 26

Dada la tabla de valores de la función f(x):
x | f(x)
--|--
0 | 2
0,2 | 3
0,4 | 5
0,6 | 8
Estima la integral de f(x) en [0, 0,6] usando la Regla del Trapecio Compuesta con n=3.

Accepted Answer

6,5000

Answer

6,0000

Answer

7,0000

Question 27

Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la Regla de Gauss es verdadera?

Accepted Answer

Utiliza una fórmula de integración exacta para polinomios de grado 2n-1.

Answer

Requiere el cálculo de los coeficientes de los polinomios ortogonales.

Answer

Es siempre más precisa que la Regla del Trapecio.

Answer

Solo puede ser aplicada a funciones continuas.

Question 28

Calcula la integral de la función f(x) = x^2 en el intervalo [0, 1] usando la Cuadratura de Gauss con 3 puntos.

Accepted Answer

0,3333

Answer

0,4000

Answer

0,2222

Answer

0,2857

Question 29

Cuál es la fórmula para calcular los pesos de la Regla de Simpson de 1/3?

Accepted Answer

1/3, 4/3, 1/3

Answer

1/4, 2/4, 1/4

Answer

1/2, 1, 1/2

Answer

1/6, 4/6, 1/6

Question 30

Dada la función f(x) = e^x, calcula el error absoluto en la aproximación de su integral en [0, 1] utilizando la Regla del Trapecio con n=4.

Accepted Answer

0,0083

Answer

0,0167

Answer

0,0042

Answer

0,0250

Question 31

Cuál de las siguientes fórmulas representa la Regla de Simpson de 3/8?

Accepted Answer

3/8 * [f(x_i) + 3f(x_i+1) + 3f(x_i+2) + f(x_i+3)]

Answer

3/8 * [f(x_i) + 2f(x_i+1) + 2f(x_i+2) + f(x_i+3)]

Answer

3/8 * [f(x_i) + 3f(x_i+2) + 3f(x_i+3) + f(x_i+4)]

Question 32

La Regla de Gauss utiliza pesos de integración que son:

Accepted Answer

Dependientes de la función integranda y los puntos de integración.

Answer

Iguales para todas las funciones integrandas.

Answer

Determinados por el tamaño de los subintervalos.

Answer

Proporcionales al error de integración.

Question 33

Se utiliza la regla del trapecio para aproximar la integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b]. ¿Cuál es la fórmula de la regla del trapecio?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/3 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a) * [f(a) + f(b)]

Question 34

La regla de Simpson es una fórmula de integración numérica que aproxima la integral definida utilizando:

Accepted Answer

Un polinomio de segundo grado

Answer

Una línea recta

Answer

Una función exponencial

Answer

Un polinomio de cuarto grado

Question 35

Para calcular la integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b] usando la regla de Simpson, se divide el intervalo en:

Accepted Answer

Un número par de subintervalos

Answer

Cualquier número de subintervalos

Answer

Solo dos subintervalos

Answer

Un número impar de subintervalos

Question 36

La fórmula de integración de Gauss utiliza puntos de integración que son:

Accepted Answer

Raíces de polinomios ortogonales

Answer

Puntos definidos por el usuario

Answer

Puntos equidistantes

Answer

Puntos aleatorios

Question 37

La principal ventaja de la fórmula de Gauss sobre la regla del trapecio y la regla de Simpson es:

Accepted Answer

Mayor precisión para un número dado de puntos de integración

Answer

Facilidad de implementación

Answer

Flexibilidad en la elección del intervalo de integración

Question 38

Se desea aproximar la integral definida de una función f(x) en el intervalo [0, 1] utilizando la regla del trapecio con un solo subintervalo. ¿Cuál es el valor aproximado de la integral?

Accepted Answer

(f(0) + f(1))/2

Answer

(f(0) + f(1))

Answer

f(0)

Answer

f(1)

Question 39

Utilizando la regla de Simpson con dos subintervalos, se aproxima la integral definida de f(x) = x^2 en el intervalo [0, 2]. ¿Cuál es el valor aproximado de la integral?

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

4/3

Answer

2

Question 40

Para la integración numérica de una función f(x) utilizando la fórmula de Gauss con dos puntos de integración, ¿cuáles son los puntos de integración y sus pesos?

Accepted Answer

Puntos: ±√(1/3), Pesos: 1

Answer

Puntos: ±1, Pesos: 1/2

Answer

Puntos: 0, 1, Pesos: 1/3, 2/3

Question 41

Se tiene una tabla de valores de una función f(x) en distintos puntos x. ¿Qué método de integración numérica sería más apropiado para aproximar la integral definida de f(x) en un intervalo que incluye los puntos de la tabla?

Accepted Answer

Fórmula de Newton-Cotes

Answer

Regla de Simpson compuesta

Answer

Fórmula de Gauss

Answer

Regla del trapecio compuesta

Question 42

En general, ¿cuál de los siguientes métodos de integración numérica ofrece la mayor precisión para una función suave en un intervalo dado?

Accepted Answer

Fórmula de Gauss

Answer

Regla del trapecio compuesta

Answer

Todos los métodos tienen la misma precisión

Answer

Regla de Simpson compuesta