Interpolación polinomial: diferencias finitas y divididas - Métodos Numéricos

Question 1

¿Cuál es la definición de la diferencia finita hacia adelante de primer orden?

Accepted Answer

f(x + h) - f(x)

Answer

f(x + 2h) - f(x)

Answer

-f(x) + f(x + h)

Answer

f(x) - f(x - h)

Question 2

¿Cómo se define la diferencia dividida de primer orden?

Accepted Answer

[x, x + h]f(x) = (f(x + h) - f(x)) / h

Answer

[x, x + h]f(x) = (f(x) - f(x - h)) / h

Answer

[x, x + h]f(x) = (f(x + h) + f(x)) / h

Answer

[x, x + h]f(x) = (f(x + h) - f(x + 2h)) / h

Question 3

Utilizando diferencias divididas, ¿qué polinomio interpola la función f(x) = x³ en los puntos x_0 = 0, x_1 = 1 y x_2 = 2?

Accepted Answer

P(x) = x³

Answer

P(x) = 1

Answer

P(x) = x²

Answer

P(x) = x

Question 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el error de interpolación es verdadera?

Accepted Answer

El error de interpolación disminuye a medida que aumenta el grado del polinomio de interpolación.

Answer

El error de interpolación no depende del número de puntos de datos utilizados.

Answer

El error de interpolación es siempre positivo.

Question 5

¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria para que exista un polinomio de interpolación único que pase por n+1 puntos distintos?

Accepted Answer

Los puntos deben ser distintos.

Answer

El grado del polinomio debe ser al menos n.

Answer

La función debe ser continua en el intervalo de interpolación.

Answer

La función debe ser derivable en el intervalo de interpolación.

Question 6

¿Cuál es la forma general del polinomio de interpolación de Lagrange de grado n?

Accepted Answer

P(x) = Σ(yᵢ * Lᵢ)

Answer

P(x) = Σ(cᵢ * Lᵢ)

Answer

P(x) = Σ(xᵢ * Lᵢ)

Answer

P(x) = Σ(pᵢ * Lᵢ)

Question 7

Dada la siguiente tabla de valores:
TablaX = [0, 1, 2, 3]
TablaY = [0, 1, 8, 27]
¿Cuál es el polinomio de interpolación de grado 3?

Accepted Answer

x^3

Answer

1

Answer

x^2

Answer

x

Question 8

Dada la siguiente tabla de valores:
TablaX = [-1, 0, 1]
TablaY = [1, 0, 1]
¿Cuál es el polinomio de interpolación de Newton de grado 2?

Accepted Answer

x^2 - 1

Answer

x - 1

Answer

x + 1

Answer

x^2 + 1

Question 9

Sea f(x) un polinomio de interpolación de grado 1 que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6). ¿Cuál es el error de interpolación en x = 1,5?

Accepted Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 10

Construye el polinomio interpolador usando diferencias divididas para los datos (0, 1), (1, 2) y (2, 5).

Accepted Answer

1 + x + 2x²

Answer

1 + x - 2x²

Answer

1 - x + 2x²

Answer

1 - x - 2x²

Question 11

Utiliza el polinomio de Lagrange para estimar el valor de f(1.5) para la función f(x) = sen(x) con los datos (0, 0), (1, 0.8415) y (2, 0.9093).

Accepted Answer

0.9327

Answer

0.7500

Answer

0.8660

Answer

1.0000

Question 12

Calcula la segunda diferencia dividida de la función f(x) = exp(x) en x0 = 0 usando diferencias finitas.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

-1

Question 13

Calcula la diferencia dividida utilizando el método de Neville para los datos (1, 0) y (2, 1).

Accepted Answer

0.5

Answer

0

Answer

-0.5

Answer

1

Question 14

Construye el polinomio interpolador de Bessel para los datos (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9).

Accepted Answer

x³

Answer

x²

Answer

x

Answer

1

Question 15

Para construir un polinomio de interpolación que pase por un conjunto de puntos (x_i, y_i) utilizando diferencias divididas, ¿qué método de interpolación se emplea?

Accepted Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Spline

Answer

Interpolación lineal

Answer

Interpolación de Lagrange

Question 16

Calcula la diferencia dividida de primer orden f[x₀, x₁] para los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 5).

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

2

Answer

3

Question 17

El polinomio de interpolación de Newton para los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 5) es:

Accepted Answer

1 + x + 2x(x - 1)

Answer

1 + 2x + 2x(x - 1)

Answer

1 + x + 3x(x - 1)

Answer

1 + 2x + 3x(x - 1)

Question 18

La fórmula para estimar el error de interpolación en la interpolación de Newton es:

Accepted Answer

f(x) - p(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n+1)! * Π(x - x_i)

Answer

f(x) - p(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / n! * Π(x - x_i)

Answer

f(x) - p(x) = f⁽ⁿ⁾(ξ) / n! * Π(x - x_i)

Question 19

Al utilizar la interpolación polinomial para aproximar una función, ¿qué ocurre con el error de interpolación al aumentar el número de puntos de datos utilizados?

Accepted Answer

Generalmente disminuye.

Answer

No se puede determinar.

Answer

Generalmente aumenta.

Answer

Permanece constante.

Question 20

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la interpolación de Newton es correcta?

Accepted Answer

Es un método eficiente para construir polinomios de interpolación, especialmente cuando se agregan nuevos puntos de datos.

Answer

Es más preciso que la interpolación de Lagrange para todos los conjuntos de datos.

Question 21

Dado una tabla de valores (x_i, y_i) con 5 puntos, ¿cuántos términos tendrá el polinomio de interpolación de Newton?

Accepted Answer

5

Answer

Depende de la función interpolada.

Answer

4

Answer

6

Question 22

¿Cuál es la principal diferencia entre las diferencias finitas y las diferencias divididas?

Accepted Answer

Las diferencias divididas son más flexibles y pueden utilizarse con puntos de datos no igualmente espaciados, mientras que las diferencias finitas requieren puntos igualmente espaciados.

Answer

Las diferencias divididas son más fáciles de calcular que las diferencias finitas.

Question 23

Para funciones que presentan un comportamiento oscilatorio, ¿qué método de interpolación se utiliza generalmente?

Accepted Answer

Interpolación de Spline

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Question 24

Si se utiliza un polinomio de interpolación de alto grado para aproximar una función con un conjunto de datos ruidosos, ¿qué problema podría surgir?

Accepted Answer

Fenómeno de Runge: el polinomio puede oscilar mucho entre los puntos de datos.

Answer

El polinomio será inexacto debido al ruido en los datos.

Answer

El polinomio será demasiado complejo y difícil de calcular.