Métodos Iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR - Cursos Online

Question 1

¿Cuál de los siguientes es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Jacobi

Answer

Bisección

Answer

Factorización LU

Answer

Eliminación Gaussiana

Question 2

¿Cuál es el parámetro de relajación en el método SOR?

Accepted Answer

ω

Answer

γ

Answer

α

Answer

β

Question 3

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el método SOR es verdadera?

Accepted Answer

El método SOR es convergente cuando ω está entre 0 y 2, excepto para ω = 1.

Answer

El método SOR es siempre divergente cuando ω > 1.

Answer

El método SOR es siempre convergente cuando ω < 0.

Answer

El método SOR es siempre convergente cuando 0 < ω < 1.

Question 4

¿Cuál de las siguientes es una ventaja del método Gauss-Seidel sobre el método Jacobi?

Accepted Answer

Convergencia más rápida

Answer

Menor número de iteraciones

Answer

Menos memoria necesaria

Answer

Mayor precisión

Question 5

¿Cuál es el orden de convergencia del método Jacobi?

Accepted Answer

Lineal

Answer

Cuadrático

Answer

Cúbico

Answer

Exponencial

Question 6

¿Qué condición debe cumplirse para que el método de Gauss-Seidel converja?

Accepted Answer

La matriz A debe ser diagonalmente dominante en filas.

Answer

La matriz A debe ser invertible.

Answer

La matriz A debe tener autovalores positivos.

Question 7

En el método SOR, ¿cuál es el rango válido para el parámetro de relajación ω?

Accepted Answer

0 < ω < 2

Answer

-1 < ω < 1

Answer

ω < 0

Answer

ω > 2

Question 8

El método SOR con ω = 1 es equivalente al método de:

Accepted Answer

Gauss-Seidel

Answer

Conjugado de gradiente

Answer

Superrelajación (SOR)

Answer

Jacobi

Question 9

El método de superrelajación (SOR) es más estable que el método de Gauss-Seidel cuando:

Accepted Answer

La matriz A es diagonalmente dominante en filas.

Answer

La matriz A es simétrica.

Answer

La matriz A es invertible.

Answer

El sistema de ecuaciones lineales está bien condicionado.

Question 10

El método de Jacobi es un método iterativo que:

Accepted Answer

Actualiza cada componente de la solución simultáneamente.

Answer

Actualiza cada componente de la solución secuencialmente.

Answer

Requiere la factorización de A en matrices triangulares.

Question 11

Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. ¿Qué método iterativo se basa en la diagonalización de la matriz A?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Método SOR

Answer

Método de eliminación de Gauss

Answer

Método de Gauss-Seidel

Question 12

El método de Gauss-Seidel se diferencia del método de Jacobi en que:

Accepted Answer

Utiliza los valores más recientes de las variables en cada iteración.

Answer

Requiere una matriz de coeficientes invertible.

Answer

Siempre es más rápido que el método de Jacobi.

Question 13

El método SOR (Superrelajación sucesiva) acelera la convergencia del método de Gauss-Seidel mediante:

Accepted Answer

Un factor de relajación que ajusta la actualización de las variables.

Answer

El uso de una matriz de coeficientes más eficiente.

Answer

La eliminación de la necesidad de una matriz diagonalmente dominante.

Question 14

Para garantizar la convergencia del método de Jacobi, la matriz de coeficientes A debe ser:

Accepted Answer

Diagonalmente dominante.

Answer

Invertible.

Answer

Ortogonal.

Answer

Simétrica.

Question 15

El valor óptimo del factor de relajación para el método SOR:

Accepted Answer

Depende de la matriz de coeficientes A.

Answer

Es independiente de la matriz de coeficientes.

Answer

Siempre es 1.

Question 16

Si el factor de relajación en el método SOR es menor que 1, el método se denomina:

Accepted Answer

Subrelajación.

Answer

Relajación óptima.

Answer

Convergencia rápida.

Answer

Sobre-relajación.

Question 17

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. ¿Cuál de los siguientes métodos iterativos NO requiere la diagonal dominante de la matriz A para asegurar la convergencia?

Accepted Answer

Método de Jacobi

Answer

Método de relajación sucesiva (SOR)

Answer

Ninguno de los anteriores

Answer

Método de Gauss-Seidel

Question 18

En el método de Gauss-Seidel, la actualización de la componente x_i en la iteración k+1 depende de:

Accepted Answer

Las componentes x_1, ..., x_{i-1} calculadas en la iteración k+1 y las componentes x_{i+1}, ..., x_n calculadas en la iteración k

Answer

Todas las componentes x_1, ..., x_n calculadas en la iteración k

Question 19

El parámetro de relajación ω en el método SOR se utiliza para:

Accepted Answer

Controlar la velocidad de convergencia del método

Answer

Garantizar la convergencia del método

Answer

Acelerar la convergencia del método en todos los casos

Answer

Reducir el número de iteraciones necesarias para alcanzar la solución

Question 20

Se aplica el método de Jacobi a un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A no singular. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA?

Accepted Answer

El método puede converger o no, dependiendo de la matriz A.

Answer

El método nunca converge.

Answer

El método siempre converge.

Question 21

Un criterio de parada común para los métodos iterativos es:

Accepted Answer

La norma de la diferencia entre dos iteraciones consecutivas es menor que una tolerancia predefinida.

Answer

El número de iteraciones excede un límite predefinido.

Question 22

Considere un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A simétrica y definida positiva. ¿Cuál de los métodos iterativos es el más adecuado?

Accepted Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método SOR con ω = 1

Answer

Cualquiera de los tres métodos converge.

Answer

Método de Jacobi

Question 23

Se está utilizando el método de Jacobi para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En la iteración k+1, se observa que la norma del residuo es mayor que en la iteración k. ¿Qué se puede concluir?

Accepted Answer

El método puede no estar convergiendo.

Answer

El método está convergiendo.

Answer

El método está alcanzando la solución exacta.

Answer

El método está divergiendo.

Question 24

Para qué valor del parámetro de relajación ω en el método SOR se obtiene el método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

ω = 1

Answer

ω = 0

Answer

ω = 2

Question 25

Se tiene un sistema de ecuaciones lineales con una matriz A que NO cumple la condición de diagonal dominante. ¿Qué se puede hacer para aplicar un método iterativo?

Accepted Answer

Intentar reordenar las ecuaciones o utilizar un preacondicionador.

Answer

Se puede aplicar cualquier método iterativo.

Answer

No se puede aplicar ningún método iterativo.

Question 26

¿Cuál de las siguientes ventajas NO se asocia al uso de métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Mayor precisión en la solución

Answer

Facilidad de implementación

Answer

Eficiencia para sistemas grandes

Answer

Requerimiento de menor memoria

Question 27

El método de Gauss-Seidel se diferencia del método de Jacobi en que:

Accepted Answer

Utiliza los valores actualizados de las variables en la misma iteración para calcular la siguiente.

Answer

Utiliza una matriz de relajación para acelerar la convergencia.

Answer

Es más susceptible a la divergencia.

Question 28

El factor de relajación (ω) en el método SOR:

Accepted Answer

Se utiliza para controlar la velocidad de convergencia.

Answer

Determina el número máximo de iteraciones.

Answer

Aumenta la precisión de la solución.

Question 29

Un criterio de parada común para los métodos iterativos es:

Accepted Answer

La norma de la diferencia entre dos iteraciones consecutivas es menor que una tolerancia predefinida.

Answer

La norma de la solución actual es menor que una tolerancia predefinida.

Question 30

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 5
 x - 3y = -1

¿Cuál de los siguientes es el vector de solución inicial (x0, y0) para el método de Jacobi?

Accepted Answer

(0, 0)

Answer

(1, 1)

Answer

(2.5, -0.33)

Answer

(5, -1)

Question 31

Para un sistema de ecuaciones lineales dado, ¿cuándo se considera que el método iterativo ha convergido?

Accepted Answer

Cuando la diferencia entre dos soluciones consecutivas es menor que una tolerancia predefinida.

Answer

Cuando la solución actual coincide exactamente con la solución exacta.

Answer

Cuando el número de iteraciones alcanza un máximo predefinido.

Question 32

El método SOR se considera una mejora del método de Gauss-Seidel porque:

Accepted Answer

Utiliza un factor de relajación para acelerar la convergencia.

Answer

Es más fácil de implementar.

Answer

Puede manejar sistemas de ecuaciones no lineales.

Question 33

¿Cuál de los siguientes factores *no* afecta la velocidad de convergencia de los métodos iterativos?

Accepted Answer

La precisión de la aritmética utilizada.

Answer

El vector inicial de la solución.

Answer

La elección del método iterativo.

Question 34

Si el factor de relajación (ω) en el método SOR es menor que 1, ¿qué efecto tiene esto en la convergencia?

Accepted Answer

La convergencia se ralentiza.

Answer

No afecta la convergencia.

Answer

La convergencia se acelera.

Answer

Puede causar divergencia.

Question 35

¿Cuál de los siguientes es un inconveniente de los métodos iterativos?

Accepted Answer

Pueden no converger para todos los sistemas de ecuaciones.

Answer

No se pueden utilizar para sistemas de ecuaciones no lineales.

Answer

Son más complejos de implementar que los métodos directos.

Question 36

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es una ventaja de los métodos iterativos sobre los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Siempre encuentran una solución exacta en un número finito de pasos.

Answer

Son generalmente más fáciles de implementar.

Answer

Son más eficientes para matrices grandes y dispersas.

Question 37

El método de Jacobi para resolver Ax=b actualiza la i-ésima componente del vector x en la k-ésima iteración utilizando:

Accepted Answer

Los valores de x en la iteración (k-1).

Answer

Los valores de x en la iteración k.

Answer

Un valor aleatorio.

Answer

Una combinación lineal de los valores de x en las iteraciones k y (k-1).

Question 38

¿Cuál de los siguientes métodos iterativos suele converger más rápido?

Accepted Answer

SOR con un valor óptimo de ω.

Answer

Gauss-Seidel

Answer

Todos los métodos convergen a la misma velocidad.

Answer

Jacobi

Question 39

Para que el método de Gauss-Seidel converja, la matriz A debe ser:

Accepted Answer

Estrictamente diagonalmente dominante.

Answer

Positivamente definida.

Answer

Simétrica.

Answer

Singular.

Question 40

¿Qué significa que un método iterativo tenga un orden de convergencia lineal?

Accepted Answer

El error se reduce aproximadamente por un factor constante en cada iteración.

Answer

El error se reduce cuadráticamente en cada iteración.

Answer

El método converge en un número finito de pasos.

Question 41

El método SOR es una generalización del método de Gauss-Seidel que introduce un parámetro ω. ¿Qué rango de valores de ω garantiza la convergencia del método SOR?

Accepted Answer

0 < ω < 2

Answer

ω < 0

Answer

ω > 1

Answer

Cualquier valor de ω

Question 42

¿En qué casos puede ser preferible utilizar un método iterativo en lugar de uno directo para resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Accepted Answer

Cuando la matriz del sistema es grande y dispersa.

Answer

Cuando se necesita una solución con una precisión muy alta.

Answer

Cuando se necesita una solución exacta.

Answer

Cuando la matriz del sistema es densa y pequeña.

Question 43

El método de Jacobi se puede paralelizar fácilmente porque:

Accepted Answer

La actualización de cada componente de x en una iteración es independiente de las demás.

Answer

Utiliza información de la iteración anterior.

Answer

Es un método iterativo.

Question 44

¿Cómo afecta el condicionamiento de la matriz del sistema a la convergencia de los métodos iterativos?

Accepted Answer

Una matriz mal condicionada puede ralentizar o incluso impedir la convergencia.

Answer

El condicionamiento de la matriz no afecta a la convergencia.

Answer

Una matriz bien condicionada siempre garantiza la convergencia.