Concepto de Integral: Aprende y domina las integrales en Análisis Matemático I

Question 1

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que:

Accepted Answer

La integral definida de una función continua en un intervalo cerrado [a, b] es igual al valor de la antiderivada de la función evaluada en los extremos del intervalo.

Answer

La derivada de una integral definida es la función integrando.

Answer

La integral de una derivada es la función original más una constante.

Question 2

Calcula la integral definida de la función f(x) = e^x entre x = 0 y x = 1:

Accepted Answer

e - 1

Answer

1 - e

Answer

0

Answer

e

Question 3

¿Cuál de las siguientes técnicas de integración es apropiada para integrar la función f(x) = sen(x)cos(x)?

Accepted Answer

Integración por sustitución trigonométrica

Answer

Integración por partes

Answer

Integración por fracciones parciales

Answer

Integración por sustitución

Question 4

¿Cuál de los siguientes teoremas garantiza que una función continua en un intervalo abierto tiene al menos un máximo o un mínimo?

Accepted Answer

Teorema de Weierstrass

Answer

Teorema del Valor Medio

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema del Cálculo Integral

Question 5

¿Qué representa el símbolo ∫? Una:

Accepted Answer

Integral

Answer

Producto

Answer

Suma

Answer

Derivada

Question 6

De acuerdo con la interpretación geométrica, la integral de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) en el intervalo [a, b]

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la curva de f(x) en [a, b] alrededor del eje x

Answer

La longitud del arco de la curva de f(x) en [a, b]

Answer

La pendiente de la curva de f(x) en [a, b]

Question 7

¿Para qué se utiliza el método de sustitución en integración?

Accepted Answer

Transformar la integral en una nueva integral con una variable más conveniente

Answer

Evaluar directamente la integral usando fórmulas de integración

Answer

Convertir la integral en una suma de integrales

Question 8

¿Cuál es el valor de la integral impropia ∫[0, 1] (1/x) dx?

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

-∞

Question 9

Una aplicación de las integrales en física es:

Accepted Answer

Calcular el trabajo realizado por una fuerza

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Determinar la trayectoria de un proyectil

Answer

Medir la resistencia eléctrica de un circuito

Question 10

La integral ∫[0, 1] |sen(x) - 1| dx es:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

1/2

Question 11

La integración por partes es una técnica que permite:

Accepted Answer

Convertir integrales difíciles en otras más sencillas.

Answer

Obtener la derivada de una función.

Answer

Calcular el volumen de un sólido.

Answer

Encontrar el área de una superficie.

Question 12

La integral ∫[0, 1] e^(2x) dx es:

Accepted Answer

(e^2 - 1)/2

Answer

1 - e^2

Answer

(e - 1)/2

Answer

e^2 - 1

Question 13

La integral de una función f(x) continua en el intervalo [a, b] representa:

Accepted Answer

El área bajo la curva de f(x) desde a hasta b

Answer

La pendiente de la tangente a la gráfica de f(x) en x = a

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) alrededor del eje y

Answer

La longitud del arco de la curva de f(x) desde a hasta b

Question 14

Si una función f(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b], ¿qué representa la integral de f(x) de a a b?

Accepted Answer

El área de la región acotada por el eje x, la gráfica de f(x) y las verticales x = a y x = b

Answer

El volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) alrededor del eje y

Question 15

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que:

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x), entonces la integral definida de f(x) de a a b es F(b) - F(a)

Answer

Si f(x) es derivable en [a, b], entonces la integral definida de f(x) de a a b es f(b) - f(a)

Question 16

Determina la superficie del sólido generado al rotar la curva y = e^x desde x = 0 hasta x = 1 alrededor del eje x:

Accepted Answer

π(e - 1)

Answer

2π(e^2 - 1)

Answer

π(e^2 - 1)

Answer

2π(e - 1)

Question 17

¿Cuál es la definición más precisa de integral definida?

Accepted Answer

El límite de una suma de áreas de rectángulos infinitesimales bajo la gráfica de una función.

Answer

El área bajo la gráfica de una función

Answer

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función

Question 18

¿Cuál es el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo?

Accepted Answer

Establece una relación entre la derivada de una función y su integral definida.

Answer

Define el valor de la constante de integración

Answer

Proporciona un método para evaluar integrales definidas

Question 19

¿Qué teorema permite intercambiar el orden de integración de una integral doble?

Accepted Answer

Teorema de Fubini

Answer

Teorema de la Media

Answer

Teorema del Valor Medio para Integrales

Answer

Teorema de Stokes

Question 20

Determina si la integral impropia de la función f(x) = 1 / x^p es convergente o divergente en el intervalo [1, ∞), donde p es un número real positivo.

Accepted Answer

Convergente si p > 1, divergente si p ≤ 1

Answer

Divergente para todos los valores de p

Answer

Convergente para todos los valores de p

Question 21

¿Cuál es la interpretación geométrica de la integral doble de una función positiva f(x, y) sobre una región R en el plano xy?

Accepted Answer

El volumen del sólido cuya base es R y cuyas secciones transversales son áreas paralelas al plano xy

Answer

El área de la superficie del sólido generado al graficar f(x, y) sobre R

Answer

El área proyectada del sólido generado al graficar f(x, y) sobre R en el plano xy

Question 22

Sea f(x) = x² + 1. Calcula la integral indefinida de f(x).

Accepted Answer

x³ / 3 + x + C

Answer

2x + C

Answer

x² + C

Answer

x² - 1 + C

Question 23

Calcula la integral definida de f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

π/2

Answer

0

Question 24

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[b,a] f(x) dx

Answer

f(x) dx

Answer

∫[a,b] x dy

Question 25

¿Cuál de las siguientes integrales representa la longitud del arco de la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]?

Accepted Answer

∫[a,b] √(1 + (dy/dx)²) dx

Answer

∫[a,b] √(dy/dx)² dx

Answer

∫[a,b] (dy/dx) dx

Answer

∫[a,b] 1 + (dy/dx)² dx

Question 26

¿Cuál de los siguientes métodos de integración se utiliza para integrar funciones irracionales?

Accepted Answer

Sustitución trigonométrica

Answer

Descomposición en fracciones parciales

Answer

Integración por partes