Series de Taylor: Cuestionarios interactivos para Análisis Matemático I

Question 1

¿Cuál es la definición de una serie de Taylor?

Accepted Answer

Polinomio que se aproxima a una función en un entorno de un punto dado

Answer

Suma de términos que se van acercando a un límite

Answer

Función que se define como una suma de potencias

Question 2

¿Qué establece el teorema de Taylor?

Accepted Answer

Bajo ciertas condiciones, una función se puede expresar como una serie de Taylor que converge a la función en un entorno del punto de desarrollo

Answer

Una función se puede desarrollar en potencias de una variable si es diferenciable

Question 3

¿Cuál es la fórmula general de una serie de Taylor?

Accepted Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...

Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x) + f''(a)(x)²

Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²

Question 4

¿Qué representa el resto de una serie de Taylor?

Accepted Answer

El error al aproximar la función con el polinomio de Taylor

Answer

El valor de la función en el punto de desarrollo

Answer

El número de términos de la serie

Question 5

¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor de e^x desarrollada en x = 0?

Accepted Answer

Infinito

Answer

1

Answer

π

Answer

0

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las series de Taylor es verdadera?

Accepted Answer

Son útiles para aproximar funciones y resolver problemas en ciencia e ingeniería

Answer

Siempre convergen

Answer

Solo se pueden usar para funciones polinomiales

Question 7

El concepto de series de Taylor implica representar una función mediante un polinomio alrededor de un punto específico. ¿Cuál de las siguientes opciones describe acertadamente este concepto?

Accepted Answer

Es una representación polinómica de una función alrededor de un punto dado.

Answer

Es un método para hallar la derivada de una función.

Answer

Es una aproximación de una función empleando una suma de potencias.

Question 8

La forma general de la serie de Taylor para una función f(x) en torno al punto a es una suma de términos. ¿Cuál es la expresión correcta para esta serie?

Accepted Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...

Answer

f(x) = a + b(x-a) + c(x-a)^2 + ...

Answer

f(x) = f(a) + (x-a) + (x-a)^2 + ...

Question 9

La serie de Taylor para e^x alrededor del punto 0 presenta una característica importante. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente esta característica?

Accepted Answer

La serie converge para todos los valores de x.

Answer

La serie sólo converge para valores positivos de x.

Answer

El intervalo de convergencia depende de la función f(x).

Answer

La serie sólo converge para valores negativos de x.

Question 10

Las series de Taylor tienen diversas aplicaciones prácticas. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es una aplicación de las series de Taylor?

Accepted Answer

Encontrar la derivada de una función

Answer

Resolver ecuaciones diferenciales

Answer

Aproximar el valor de integrales definidas.

Question 11

La serie de Taylor para funciones que involucran productos o funciones exponenciales también puede determinarse. ¿Cuál es la serie de Taylor para la función f(x) = x^2e^(-x) alrededor del punto 0?

Accepted Answer

x^2 - x^3 + x^4/2 - x^5/6 + ...

Answer

-x^2 + x^3 - x^4 + x^5 - ...

Answer

x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ...

Question 12

Considerar la función f(x) = 1/(1-x). Expresar f(x) como una serie de Taylor en torno al punto x = 0 y determinar su intervalo de convergencia.

Accepted Answer

1 + x + x^2 + x^3 + ...; (-1, 1)

Answer

1 - x + x^2 + x^3 + ...; (0, 1)

Answer

-1 - x + x^2 + x^3 + ...; (-1, 1)

Answer

-1 + x + x^2 + x^3 + ...; (0, 1)

Question 13

Usar el teorema de Taylor para encontrar el polinomio de Taylor de orden 3 para f(x) = cos(x) en torno al punto x = 0.

Accepted Answer

1 - (x^2/2) + (x^4/24)

Answer

1 - x + (x^2/2)

Answer

1 - (x^2/2) + (x^3/6)

Answer

1 + x + (x^2/2)

Question 14

Determina si la serie ∑(n=1 a ∞) 1 / n^2 es convergente o divergente utilizando el criterio de la serie armónica.

Accepted Answer

Convergente

Answer

Divergente

Answer

Convergente condicionalmente

Answer

No se puede determinar

Question 15

Determina el orden de la serie de Taylor para la función f(x) = ln(1+x) con centro en a = 0.

Accepted Answer

Infinito

Answer

1

Answer

3

Answer

2

Question 16

Halla la derivada de la serie de Taylor para la función f(x) = e^x centrada en a = 0.

Accepted Answer

e^x

Answer

x·e^x

Answer

e^x / x

Answer

0

Question 17

Determina la integral de la serie de Taylor para la función f(x) = cos(x) con centro en a = 0.

Accepted Answer

sen(x) + C

Answer

x·cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sen(x) + C

Question 18

Calcula la serie de Taylor de la función f(x) = e^x alrededor de x = 0.

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / (2n)!

Question 19

Determina el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de la función f(x) = ln(1+x) alrededor de x = 0.

Accepted Answer

-1 < x ≤ 1

Answer

-1 ≤ x < 1

Answer

0 < x < ∞

Answer

-∞ < x < ∞

Question 20

Utiliza la serie de Taylor de la función f(x) = sin(x) alrededor de x = 0 para aproximar sin(0.1) con un error menor que 0.001.

Accepted Answer

0.0998

Answer

0.1

Answer

0.101

Answer

0.099

Question 21

¿Cuál es el polinomio de Taylor de grado 3 de la función f(x) = cos(x) alrededor de x = π/2?

Accepted Answer

-x + (x-π/2)^3/6

Answer

-x - (x-π/2)^3/6

Answer

-x - (x-π/2)^2/2

Answer

-x + (x-π/2)^2/2

Question 22

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto al teorema de Taylor?

Accepted Answer

El teorema de Taylor establece que una función suficientemente diferenciable puede ser aproximada localmente por un polinomio.

Answer

El teorema de Taylor solo se aplica a funciones polinómicas.

Question 23

¿Cuál es la serie de Taylor de la función f(x) = 1/(1-x) alrededor de x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n+1)

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n)

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n

Question 24

Utiliza la serie de Taylor de la función f(x) = cos(x) alrededor de x = 0 para calcular el valor de cos(π/4) con un error menor que 0.01.

Accepted Answer

0.707

Answer

0.7

Answer

0.71

Answer

0.697

Question 25

Determina la serie de Maclaurin de la función f(x) = e^(-x^2).

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n) / n!

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n) / n!

Question 26

¿Qué tipo de función se puede representar mediante una serie de Taylor?

Accepted Answer

Funciones suficientemente diferenciables.

Answer

Solo funciones exponenciales.

Answer

Solo funciones polinómicas.

Answer

Solo funciones trigonométricas.