Continuidad: Definición, Teoremas y Discontinuidades

Question 1

Sea f(x) = (x^2 - 1) / (x-1). ¿En qué punto es f(x) discontinua?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 2

Sea f(x) = |x - 2|. ¿En qué punto es f(x) continua?

Accepted Answer

Todos los puntos

Answer

x = 3

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Question 3

Sea f(x) = (x^3 - 1) / (x - 1). ¿Es f(x) continua en x = 0?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Sí, pero no diferenciable

Answer

No, pero sí diferenciable

Question 4

Sea f(x) = ln(x). ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de f(x)?

Accepted Answer

x ≤ 0

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 5

Sea f(x) = arctan(x). ¿En qué puntos NO es continua f(x)?

Accepted Answer

No hay puntos de discontinuidad

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Question 6

Sea f(x) = e^x + sen(x). ¿Es f(x) continua en todos los números reales?

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

Sí, pero no diferenciable

Answer

No, pero sí diferenciable

Question 7

Sea f(x) = x^2 + |x|. ¿En qué punto NO es derivable f(x)?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 1

Answer

No hay puntos de no derivabilidad

Question 8

Determina si la función 'f(x) = e^(x^2)' es continua en 'x = 0'.

Accepted Answer

Sí, es continua

Answer

No, es discontinua evitable

Answer

No, es discontinua de salto

Answer

No, es discontinua esencial

Question 9

Determina si la función 'f(x) = arctan(x)' es continua en 'x = π / 2'.

Accepted Answer

Sí, es continua

Answer

No, es discontinua esencial

Answer

No, es discontinua de salto

Answer

No, es discontinua evitable

Question 10

Sea 'h(x) = { x^2 si x ≤ 0; 2 si x > 0 }'. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta en 'x = 0'?

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad infinita

Answer

Discontinuidad esencial

Question 11

Sea 'g(x) = { 1 si 'x' es racional; 0 si 'x' es irracional }'. ¿Cuál es el conjunto de puntos donde 'g(x)' es continua?

Accepted Answer

El conjunto vacío

Answer

R - Q

Answer

R

Answer

Q

Question 12

Sea 'h(x) = { e^x si 'x' ≥ 0; 0 si 'x' < 0 }'. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta en 'x = 0'?

Accepted Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad infinita

Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad esencial

Question 13

¿**Cuál de los siguientes teoremas garantiza la continuidad de una función compuesta?**

Accepted Answer

Teorema de la función compuesta

Answer

Teorema de Rolle

Answer

Teorema del valor medio

Question 14

**Determina si la función:**
f(x) = { x^2, si x es racional
          { 1, si x es irracional

Accepted Answer

Es discontinua en todos los puntos.

Answer

Es continua en todos los puntos racionales.

Answer

Es continua en todos los puntos excepto en 0.

Answer

Es continua en todos los puntos irracionales.

Question 15

¿**Cuál de las siguientes funciones es un ejemplo de una función continua pero no diferenciable?**

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 16

**Si f(x) es continua en x = a y g(x) es discontinua en x = a, ¿qué se puede decir sobre la continuidad de la función compuesta f(g(x)) en x = a?**

Accepted Answer

Puede ser continua o discontinua.

Answer

Siempre es discontinua.

Answer

Siempre es continua.

Answer

Depende de la derivada de f(x) en x = a.

Question 17

**Determina si la siguiente función es uniformemente continua en el intervalo [0, 1]:**
f(x) = x^2

Accepted Answer

Sí, es uniformemente continua.

Answer

No, no es uniformemente continua.

Answer

La uniformidad no puede determinarse.

Answer

Es uniformemente continua solo en el intervalo (0, 1).

Question 18

¿Cuál es el tipo de discontinuidad que presenta una función cuando su límite existe, pero la función no está definida en ese punto?

Accepted Answer

Discontinuidad evitable

Answer

Discontinuidad de salto

Answer

Discontinuidad esencial

Question 19

Para demostrar la continuidad de una función compuesta, ¿qué teorema es fundamental?

Accepted Answer

Teorema de la composición de funciones continuas

Answer

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Answer

Teorema del valor intermedio

Question 20

De las siguientes afirmaciones, ¿cuál NO garantiza que una función f(x) sea continua en el punto x = a?

Accepted Answer

f(a) está definido.

Answer

f(x) está definida en un intervalo abierto que contiene a 'a'.

Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe.

Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Question 21

Si f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) para x ≠ 1 y f(1) = 2, ¿es f(x) continua en x = 1?

Accepted Answer

Sí, porque el límite de f(x) cuando x tiende a 1 existe y es igual a f(1).

Answer

No, porque el límite de f(x) cuando x tiende a 1 no existe.

Answer

No, porque f(x) no está definida para x = 1.

Question 22

¿Cuál de las siguientes funciones tiene una discontinuidad evitable en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)/x

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Question 23

El teorema del valor intermedio establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b]...

Accepted Answer

toma todos los valores entre f(a) y f(b) al menos una vez en el intervalo.

Answer

es derivable en el intervalo.

Answer

tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo.

Question 24

Si f(x) y g(x) son continuas en x = a, entonces...

Accepted Answer

f(x) + g(x) es continua en x = a.

Answer

f(g(x)) es continua en x = a.

Answer

f(x)/g(x) es continua en x = a (si g(a) ≠ 0).

Answer

Ninguna de las anteriores.

Question 25

Una función f(x) tiene una discontinuidad de salto en x = a si...

Accepted Answer

los límites laterales en x = a existen pero son diferentes.

Answer

al menos uno de los límites laterales en x = a no existe.

Answer

f(a) no está definido.

Question 26

Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que...

Accepted Answer

f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Answer

f(c) = 0.

Answer

f'(c) = 0.

Answer

f''(c) = 0.

Question 27

¿Cuál de las siguientes funciones NO es continua en todo su dominio?

Accepted Answer

f(x) = 1/x, para x perteneciente a los números reales.

Answer

f(x) = sin(x), para x perteneciente a los números reales.

Answer

f(x) = x^2, para x perteneciente a los números reales.

Question 28

Una función f(x) tiene una discontinuidad asintótica en x = a si...

Accepted Answer

al menos uno de los límites laterales en x = a es infinito.

Answer

los límites laterales en x = a existen pero son diferentes.

Answer

f(a) no está definido.

Question 29

La función f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) tiene una discontinuidad evitable en x = 2. ¿Cuál debe ser el valor de f(2) para que la función sea continua en x = 2?

Accepted Answer

4

Answer

-2

Answer

0

Answer

2