Extremos de funciones: cuestionarios interactivos para Análisis Matemático II

Question 1

Encontrar el máximo de la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π].

Accepted Answer

(π/2, 1)

Answer

(π, -1)

Answer

(0, 0)

Question 2

Clasificar el punto (1, 0) como máximo, mínimo o ninguno para la función f(x) = x⁴ - 2x².

Accepted Answer

Mínimo

Answer

Silla de montar

Answer

Ninguno

Answer

Máximo

Question 3

Indica la función que presenta un mínimo en x = -1:

Accepted Answer

f(x) = (x + 1)² + 3

Answer

f(x) = x² - 2x + 5

Answer

f(x) = -x³ + 3x² - 2x

Answer

f(x) = cos(x) - 1

Question 4

¿Cuál es la derivada n-ésima de la función f(x) = e^x?

Accepted Answer

f^(n)(x) = e^x

Answer

f^(n)(x) = n * e^x

Answer

f^(n)(x) = e^(nx)

Answer

f^(n)(x) = 0

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los extremos de una función es INCORRECTA?

Accepted Answer

Un punto donde se anula la derivada primera NO implica necesariamente la existencia de un extremo relativo.

Answer

Los extremos relativos son puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o viceversa.

Answer

Los extremos absolutos son los valores máximo y mínimo que alcanza una función en su dominio.

Question 6

Dada la función f(x) = x³ -6x² + 9x, ¿cuál es su extremo relativo?

Accepted Answer

(1, 5)

Answer

(0, 0)

Answer

(2, -3)

Answer

(3, 0)

Question 7

¿Qué afirma el teorema de Rolle?

Accepted Answer

Si f(x) es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) donde f'(c) = 0.

Answer

Si f(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces f(x) es monótona en [a, b].

Question 8

Sea f(x) = |x - 2|. ¿Es derivable f(x) en x = 2?

Accepted Answer

No

Answer

Sí, y f'(2) = -1

Answer

Sí, y f'(2) = 1

Question 9

Halle el valor mínimo de la función f(x) = sen(2x) en el intervalo [0, π].

Accepted Answer

-1

Answer

2

Answer

0

Answer

1

Question 10

¿Cuál de los siguientes métodos NO se utiliza para encontrar los extremos de una función?

Accepted Answer

Integración por partes

Answer

Segunda derivada

Answer

Derivación

Answer

Teorema del valor extremo

Question 11

Sea f(x) = 1/x en el intervalo (0, ∞). ¿Qué tipo de extremo tiene la función en este intervalo?

Accepted Answer

No tiene extremo

Answer

Máximo

Answer

Punto de inflexión

Answer

Mínimo

Question 12

Los puntos de inflexión de la función f(x) = x³ + 3x² - 2x + 1 se encuentran en:

Accepted Answer

x = -1, x = 1

Answer

x = -1, x = 2

Answer

x = 0, x = 2

Question 13

El máximo relativo de la función f(x) = x³ - 2x² + x + 1 se alcanza en el punto x =

Accepted Answer

2/3

Answer

-2/3

Answer

1

Answer

0

Question 14

La función f(x) = (x - 1)¹/³ es diferenciable en x = 1.

Accepted Answer

No

Answer

Solo si x < 1

Answer

Solo si x > 1

Answer

Sí

Question 15

¿Cuál de estas afirmaciones describe correctamente los extremos de una función?

Accepted Answer

Los extremos son los puntos donde la función alcanza su valor máximo o mínimo.

Answer

Los extremos son los puntos donde la segunda derivada es positiva.

Answer

Los extremos son los puntos donde la primera derivada es igual a cero.

Question 16

Para que un punto sea un máximo local, una condición necesaria es que:

Accepted Answer

La primera derivada sea positiva en un intervalo a la izquierda del punto y negativa en un intervalo a la derecha del punto.

Answer

La segunda derivada sea positiva en el punto.

Question 17

La función  h(x) = x³ - 3x² + 2x - 1 tiene un mínimo relativo en el punto:

Accepted Answer

(1, -1)

Answer

(0, -1)

Answer

(3, 2)

Answer

(2, 1)

Question 18

De las siguientes funciones, ¿cuál tiene un máximo en x = 0?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 2x

Answer

h(x) = x³ + 2x

Answer

j(x) = -x³ - 2x

Answer

g(x) = x² - 2x

Question 19

La función f(x) = x² + 2x + 1 tiene un punto crítico en x = -1. ¿De qué tipo de punto crítico se trata?

Accepted Answer

Mínimo local

Answer

Punto de inflexión

Answer

No es un punto crítico

Answer

Máximo local

Question 20

Para encontrar el mínimo absoluto de una función f(x) en el intervalo cerrado [a, b], se deben seguir estos pasos:

Accepted Answer

1) Encontrar los puntos críticos de f(x) en el intervalo [a, b]. 2) Evaluar f(x) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. 3) El valor mínimo de f(x) entre estos puntos es el mínimo absoluto.

Answer

1) Encontrar los puntos críticos de f(x) en el intervalo [a, b]. 2) Evaluar f(x) en los puntos críticos. 3) El valor mínimo de f(x) entre estos puntos es el mínimo absoluto.

Question 21

De las siguientes funciones, ¿cuál NO tiene un punto crítico?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x² - 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 22

De las siguientes afirmaciones sobre los puntos críticos de una función, ¿cuál es FALSA?

Accepted Answer

Un punto crítico siempre corresponde a un extremo relativo.

Answer

La derivada de la función en un punto crítico es cero o no existe.

Answer

Un punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

Question 23

La función f(x) = x³ - 3x tiene:

Accepted Answer

Un máximo local en x = -1 y un mínimo local en x = 1.

Answer

Un punto de inflexión en x = 0.

Answer

Un máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = -1.

Question 24

El teorema de Weierstrass garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absoluto para una función continua en un intervalo cerrado si:

Accepted Answer

La función es continua en el intervalo cerrado.

Answer

La función es estrictamente creciente en el intervalo cerrado.

Answer

El intervalo es abierto.

Answer

La función es derivable en el intervalo cerrado.

Question 25

Para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado, se deben comparar los valores de la función en:

Accepted Answer

Los puntos críticos dentro del intervalo y los extremos del intervalo.

Answer

Los puntos críticos dentro del intervalo.

Answer

Los extremos del intervalo.

Question 26

Si f'(x) > 0 para todo x en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es:

Accepted Answer

Estrictamente creciente en (a, b).

Answer

Constante en (a, b).

Answer

Estrictamente decreciente en (a, b).

Answer

No se puede determinar.

Question 27

Si f''(c) = 0 y f''(x) cambia de signo en x = c, entonces el punto (c, f(c)) es:

Accepted Answer

Un punto de inflexión.

Answer

Un mínimo local.

Answer

Un máximo local.

Question 28

Un rectángulo tiene un perímetro fijo de 20 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que maximizan su área?

Accepted Answer

5 metros por 5 metros.

Answer

2 metros por 8 metros.

Answer

4 metros por 6 metros.

Answer

1 metro por 9 metros.