Integrales Definidas: Conceptos, Propiedades y Aplicaciones

Question 1

Calcula la integral doble ∫[0, 1] ∫[0, x] y dy dx.

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 2

Enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo y explica su importancia en la integración definida.

Accepted Answer

Establece la relación entre la derivada y la integral de una función, lo que permite encontrar integrales definidas a través de las antiderivadas.

Answer

Proporciona un método para calcular integrales definidas de funciones racionales.

Question 3

¿Cuál de las siguientes integrales representa el área bajo la curva y = (x-3)(x+2) en el intervalo [0,4]?

Accepted Answer

∫[0,4] (x-3)(x+2) dx

Answer

∫[2,3] (x-3)(x+2) dx

Answer

∫[4,0] (x-3)(x+2) dx

Answer

∫[-2,3] (x-3)(x+2) dx

Question 4

Calcula el centro de gravedad del área bajo la curva y = 4 - x² en el intervalo [0,2]:

Accepted Answer

4/3

Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 5

Calcula la integral impropia ∫[0,∞] x e^(-x²) dx:

Accepted Answer

1/2

Answer

∞

Answer

0

Question 6

Considera la integral definida ∫[0,∞] sen(x) dx. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Accepted Answer

La integral diverge.

Answer

La integral converge a -1.

Answer

La integral no converge ni diverge.

Answer

La integral converge a 1.

Question 7

Señala la afirmación **incorrecta** sobre las integrales definidas:

Accepted Answer

La integral definida solo puede calcularse para funciones continuas.

Answer

La integral definida representa el área bajo la curva de la función.

Answer

La integral definida es una suma de áreas infinitamente pequeñas.

Question 8

Hallar la integral definida de la función **f(x) = sen(x)** entre los límites **a = 0** y **b = π/2**. Expresa el resultado en forma exacta.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

π/2

Answer

0

Question 9

Estudiar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia: ∫[0,∞) **e^(-x)** dx

Accepted Answer

Convergente

Answer

No se puede determinar

Answer

Divergente

Answer

Semi-convergente

Question 10

Calcula la integral definida de la función **f(x) = 2x + 1** en el intervalo **[1, 3]**.

Accepted Answer

8

Answer

12

Answer

16

Answer

4

Question 11

Analiza el comportamiento de la integral definida de la función **f(x) = 1/(x - 2)** en el intervalo **[1, 3]**.

Accepted Answer

Diverge en 2.

Answer

Es derivable en 2.

Answer

Es continua en 2.

Answer

Converge en 2.

Question 12

Calcula la integral definida de ∫(sen(2x)+cos(x)) dx en el intervalo [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

-1

Answer

0

Question 13

¿Cuál de las siguientes expresiones es la integral definida de f(x) = x^2 en el intervalo [0, 2]?

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

16/3

Question 14

El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que la derivada de la integral definida de f(x) en el intervalo [a, x] es:

Accepted Answer

f(x)

Answer

∫[a,x] f(t) dt

Answer

f'(x)

Answer

0

Question 15

¿Cuál de los siguientes es un método para calcular la integral definida de una función?

Accepted Answer

Reglas de integración

Answer

Dibujar la gráfica de la función

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Resolver una ecuación diferencial

Question 16

La integral definida de sin(x) en el intervalo [0, π/2] es:

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

π/2

Question 17

¿Cuál de las siguientes aplicaciones de las integrales definidas es correcta?

Accepted Answer

Calcular el área bajo la curva de una función.

Answer

Resolver ecuaciones polinómicas

Answer

Ninguna de las anteriores

Answer

Encontrar las raíces de una función

Question 18

La integral definida de 1/(x^2+1) en el intervalo [-1, 1] es:

Accepted Answer

π/2

Answer

-π/2

Answer

1

Answer

0

Question 19

La integral definida de e^x en el intervalo [0, 1] es:

Accepted Answer

e-1

Answer

e

Answer

1-e

Question 20

La integral definida de ln(x) en el intervalo [1, e] es:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

ln(e)

Question 21

¿Cuál de las siguientes integrales definidas representa el volumen del sólido generado al rotar la gráfica de f(x) = x^2 en el intervalo [0, 1] alrededor del eje x?

Accepted Answer

π/5

Answer

π/2

Answer

2π/5

Question 22

La integral definida de f(x) = |x| en el intervalo [-2, 2] es:

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

-4

Answer

2