Derivación numérica: Métodos y errores en Análisis Numérico

Question 1

¿Cuál es la fórmula que representa la aproximación de diferencias finitas de segunda derivada utilizando diferencias finitas centradas con un paso h?

Accepted Answer

f''(x) ≈ (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2

Answer

f''(x) ≈ (f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)) / h^2

Answer

f''(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Answer

f''(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h^2

Question 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre derivadas de orden superior es correcta?

Accepted Answer

La derivada de orden n de una función f(x) se puede aproximar utilizando diferencias finitas con un paso h y un error de O(h^n).

Answer

La derivada de orden n de una función f(x) es siempre mayor que la derivada de orden n-1.

Answer

La derivada de orden n de una función f(x) puede tener puntos de inflexión.

Answer

La derivada de orden n de una función f(x) es siempre una función continua.

Question 3

¿Cuál es la fórmula para la aproximación de diferencias finitas hacia atrás de primera derivada utilizando un paso h?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (-f(x+h) + 2f(x) - f(x-h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (-3f(x) + 4f(x-h) - f(x-2h)) / 2h

Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / 2h

Question 4

¿Cuál es la fórmula para la aproximación de diferencias finitas centrales de primera derivada utilizando un paso h?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h

Answer

f'(x) ≈ (3f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)) / 2h

Answer

f'(x) ≈ (-f(x+h) + 2f(x) - f(x-h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Question 5

Dada la función ( f(x) = e^x ), ¿cuál es el límite del error de truncamiento de la derivada numérica central de segundo orden en el punto ( x=0 ) cuando ( h ) tiende a cero?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 6

¿Bajo qué condición el método de diferencias finitas hacia delante es estable?

Accepted Answer

Cuando ( |h| < 1 )

Answer

Cuando ( |h| > 1 )

Answer

Nunca es estable

Answer

Siempre es estable

Question 7

¿Cuál de las siguientes ventajas NO se atribuye a los métodos de diferencias finitas para la derivación numérica?

Accepted Answer

Alta precisión

Answer

Aplicables a funciones de forma arbitraria

Answer

Facilidad de implementación

Answer

Menor sensibilidad al ruido

Question 8

El error de truncamiento al emplear la fórmula de diferencias centrales para aproximar la derivada primera de f(x) = x^2 en x = 0 es:

Accepted Answer

O(h^2)

Answer

O(h)

Answer

O(h^4)

Answer

O(h^3)

Question 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta en relación con el error de redondeo en la derivación numérica?

Accepted Answer

Puede ser significativo para tamaños de paso pequeños y funciones con derivadas de orden superior.

Answer

Siempre es despreciable comparado con el error de truncamiento.

Answer

Es significativo únicamente para funciones con derivadas discontinuas.

Question 10

La derivada cuarta de f(x) = sen(x) se puede aproximar usando la fórmula de derivadas centrales de orden 4 como:

Accepted Answer

(f(x+2h) - 4f(x+h) + 6f(x) - 4f(x-h) + f(x-2h)) / h^4

Answer

(f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^4

Answer

(f(x+2h) - f(x)) / h^4

Question 11

¿Cuál de las siguientes opciones NO es un método para mejorar la precisión de las derivadas numéricas?

Accepted Answer

Incrementar el tamaño de paso

Answer

Emplear fórmulas de diferencias finitas de orden superior

Answer

Minimizar el error de redondeo

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos se emplea para calcular derivadas numéricas?

Accepted Answer

Diferencias finitas

Answer

Interpolación polinomial

Answer

Optimización no lineal

Answer

Integración numérica

Question 13

¿Qué orden de precisión posee el esquema de diferencias finitas hacia adelante?

Accepted Answer

1

Answer

4

Answer

3

Answer

2

Question 14

Identifique el error principal asociado al empleo de diferencias finitas para calcular derivadas numéricas.

Accepted Answer

Error de truncamiento

Answer

Error aleatorio

Answer

Error sistemático

Answer

Error de redondeo

Question 15

Calcule la derivada numérica de f(x) = exp(x) en x = 0 aplicando derivadas de orden superior con un paso h = 0,05.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0,5

Answer

2

Question 16

¿Qué ventaja principal ofrecen las derivadas de orden superior sobre las diferencias finitas?

Accepted Answer

Mayor precisión

Answer

Mayor estabilidad

Answer

Menor coste computacional

Question 17

¿Qué se entiende por estabilidad numérica en el contexto de la derivación numérica?

Accepted Answer

Propiedad de los métodos que evitan el crecimiento descontrolado del error

Answer

Propiedad de los métodos que minimizan los errores de redondeo

Answer

Propiedad de los métodos que garantizan resultados precisos independientemente del tamaño del paso

Question 18

Indica el error de truncamiento del método de derivadas centrales de segundo orden para una función f(x) continua y con derivadas hasta cuarto orden en un intervalo.

Accepted Answer

O(h^2)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h)

Answer

O(h^4)

Question 19

Se aplica el método de extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de la derivada numérica calculada mediante el método de diferencias finitas hacia adelante. Determina el orden del error de truncamiento del método extrapolado.

Accepted Answer

O(h^4)

Answer

O(h^5)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^3)

Question 20

¿Qué tipo de funciones son más adecuadas para derivar numéricamente utilizando el método de la aproximación parabólica?

Accepted Answer

Funciones continuas y suavemente diferenciables.

Answer

Funciones discontinuas en el punto de derivación.

Answer

Funciones que oscilan rápidamente.

Answer

Funciones con puntos angulosos o discontinuidades de salto.

Question 21

Para aproximar la derivada de la función f(x) en x = 1 mediante diferencias finitas hacia delante, se dispone de f(1) = 2 y f(1.1) = 2.2. ¿Cuál es la aproximación de la derivada?

Accepted Answer

2

Answer

0.2

Answer

10

Question 22

En el método de derivación numérica, la fórmula que representa la derivada de segundo orden usando diferencias centradas es:

Accepted Answer

f''(x) ≈ (f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)) / h^2

Answer

f''(x) ≈ (f(x + h) + f(x - h)) / (2h)

Answer

f''(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

Answer

f''(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

Question 23

En la aproximación por diferencias finitas hacia delante, ¿cuál es el orden del error de truncamiento?

Accepted Answer

O(h)

Answer

O(h^3)

Answer

O(1)

Answer

O(h^2)

Question 24

El principal motivo para utilizar la derivación numérica es:

Accepted Answer

Aproximar la derivada de funciones sin expresión analítica o que son difíciles de derivar analíticamente

Answer

Obtener una aproximación más precisa que la derivada analítica

Answer

Para funciones fáciles de derivar analíticamente

Question 25

Calcula la derivada de f(x) = x^2 en x = 2 usando diferencias centradas con h = 0.1

Accepted Answer

4.0

Answer

4.1

Answer

4.2

Answer

3.9

Question 26

En el método de diferencias finitas, ¿qué sucede con el error de truncamiento al disminuir el paso h?

Accepted Answer

Disminuye

Answer

Aumenta

Answer

Permanece constante

Answer

No tiene relación con h

Question 27

Aproxima la derivada de f(x) = sin(x) en x = π/4 usando diferencias hacia atrás con h = 0.01.

Accepted Answer

0.707

Answer

0.709

Answer

0.711

Answer

0.705

Question 28

¿Qué método de derivación numérica suele ser más preciso para un paso h dado?

Accepted Answer

Diferencias centradas

Answer

Todos tienen la misma precisión

Answer

Diferencias hacia atrás

Answer

Diferencias hacia delante

Question 29

El error de redondeo en la derivación numérica se debe a:

Accepted Answer

La precisión limitada de las operaciones aritméticas de la computadora.

Answer

La inexactitud de la fórmula de derivación numérica

Answer

El paso h utilizado en la fórmula

Question 30

¿Cuál de los siguientes factores influye en la elección del tamaño de paso h en la derivación numérica?

Accepted Answer

Precisión deseada

Answer

El punto donde se calcula la derivada

Answer

El tipo de función

Answer

La fórmula de derivación numérica