Interpolación: Conceptos y Ejercicios para Análisis Numérico

Question 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es una característica de un polinomio de interpolación de Lagrange?

Accepted Answer

Se anula en todos los puntos de interpolación excepto en el punto donde interpola.

Answer

Pasa por todos los puntos de interpolación.

Answer

Su grado es menor o igual que el número de puntos de interpolación menos uno.

Answer

Se expresa como una combinación lineal de las funciones base de Lagrange.

Question 2

Para aproximar el valor de f(2.5) utilizando interpolación polinómica lineal, dado el conjunto de datos {(1, 2), (2, 3), (3, 5)}, ¿cuál es el polinomio de interpolación que debe utilizarse?

Accepted Answer

2 + 0,5(x - 2)

Answer

1 + 2(x - 2)

Answer

3 - 0,5(x - 2)

Answer

4 - 1,5(x - 2)

Question 3

Para aproximar el valor de (f(1,5)) utilizando interpolación por splines cúbicos con los datos {(1, 2), (2, 3), (3, 5)}, es necesario calcular:

Accepted Answer

Las primeras derivadas en los puntos de interpolación

Answer

Los valores de (f) en los puntos de interpolación

Answer

Los valores de (f) en los puntos medios

Answer

Las integrales de (f) en los puntos de interpolación

Question 4

El objetivo principal de utilizar la interpolación es:

Accepted Answer

Aproximar valores de una función desconocida a partir de datos discretos

Answer

Obtener la expresión analítica de una función

Answer

Calcular integrales y derivadas

Question 5

La siguiente expresión corresponde a un polinomio de interpolación de Lagrange de grado n:

Accepted Answer

$$L_i(x) = prod_{j 
eq i}^n rac{(x - x_j)}{(x_i - x_j)}$$

Answer

$$P_n(x) = sum_{i=0}^n a_i x^i$$

Answer

$$S_n(x) = sum_{i=1}^n c_i e^{a_i x}$$

Answer

$$N_n(x) = sum_{i=0}^n b_i x^{i+1}$$

Question 6

Para interpolar datos con un polinomio de grado m, se necesitan:

Accepted Answer

m + 1 puntos de datos

Answer

2m + 1 puntos de datos

Answer

m - 1 puntos de datos

Answer

m puntos de datos

Question 7

Consideramos los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 4). ¿Cuál es el polinomio de Lagrange que interpola estos puntos?

Accepted Answer

((x - 1)(x - 2))/2 + x(x - 2) + x(x - 1)

Answer

(x - 1)(x - 2) + x(x - 2) + x(x - 1)/2

Answer

x(x - 1)/2 + x(x - 2) + (x - 1)(x - 2)

Question 8

Sea f(x) = sen(x). Calcular la aproximación del valor de f(0,5) utilizando el polinomio de diferencias divididas de grado 2, sabiendo que f(0) = 0, f(0,25) = 0,2474 y f(0,5) = 0,4794.

Accepted Answer

0,4804

Answer

0,4824

Answer

0,4764

Question 9

Considerando los puntos (1, 0), (2, 1), (3, 3) y (4, 6), ¿cuál es el error de interpolación para la función de interpolación lineal en x = 1,5?

Accepted Answer

-0,125

Answer

-0,25

Answer

-1

Question 10

La interpolación polinómica puede verse afectada por:

Accepted Answer

Oscilación de Runge

Answer

Ruido

Answer

Aliasing

Question 11

¿Qué tipo de interpolación conserva la monotonía de la función original?

Accepted Answer

Interpolación por splines monótonos

Answer

Interpolación polinómica

Answer

Interpolación lineal

Question 12

¿Cuál de los siguientes métodos de interpolación es generalmente más preciso para funciones que varían suavemente?

Accepted Answer

Splines cúbicos

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación lineal

Question 13

Determinar el tipo de spline cúbico que cumple las condiciones de frontera f'(a) = f'(b) = 0.

Accepted Answer

Spline natural

Answer

Spline parabólico

Answer

Spline abierto

Answer

Spline lineal

Question 14

Calcular el polinomio de interpolación de Neville para los puntos (0, 1), (1, 2), (2, 4).

Accepted Answer

P(x) = 1 + x + x^2

Answer

P(x) = 1 + x - x^2

Answer

P(x) = 1 - x - x^2

Answer

P(x) = 1 - x + x^2

Question 15

¿Cuál de los siguientes métodos de interpolación polinómica utiliza una base de polinomios base de Lagrange?

Accepted Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación por ajuste de mínimos cuadrados

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación spline

Question 16

En la interpolación de Newton, el polinomio interpolador se representa como una suma de:

Accepted Answer

Polinomios de diferencia dividida

Answer

Polinomios de Lagrange

Answer

Polinomios de Bessel

Answer

Funciones spline

Question 17

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre una spline cúbica natural es correcta?

Accepted Answer

Es una función que satisface determinadas condiciones de continuidad en los puntos de empalme (puntos donde se unen las splines) y tiene derivadas segundas cero en los extremos.

Answer

Es una función que interpola puntos de datos sin restricciones en las derivadas.

Question 18

En la interpolación por ajuste de mínimos cuadrados, el polinomio interpolador se determina minimizando:

Accepted Answer

La suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores interpolados y los datos

Answer

El área bajo la curva de error

Answer

El error máximo entre los valores interpolados y los datos

Question 19

¿Cuál de los siguientes factores influye en la elección del método de interpolación?

Accepted Answer

El grado del polinomio, el espaciado de los datos y las derivadas requeridas.

Answer

Solo el espaciado de los datos

Answer

Solo el grado del polinomio

Question 20

Dada una tabla de datos con espaciado desigual, ¿cuál de los siguientes métodos de interpolación suele ser más preciso?

Accepted Answer

Interpolación spline

Answer

Interpolación de Newton

Answer

Interpolación de Lagrange

Answer

Interpolación por ajuste de mínimos cuadrados

Question 21

En la interpolación de Lagrange, ¿qué sucede si el punto de interpolación coincide con un punto de datos?

Accepted Answer

El valor interpolado es igual al valor del dato.

Answer

El error de interpolación es máximo.

Answer

La interpolación falla.

Answer

El polinomio interpolador se convierte en cero.

Question 22

¿Cuál de las siguientes propiedades es característica de las splines cúbicas?

Accepted Answer

Son continuas hasta la segunda derivada.

Answer

Son siempre polinomios de grado 4.

Answer

No son adecuadas para interpolar datos oscilatorios.

Answer

Su construcción requiere la solución de sistemas de ecuaciones no lineales.

Question 23

La interpolación por ajuste de mínimos cuadrados minimiza el:

Accepted Answer

Error cuadrático medio

Answer

Error relativo medio

Answer

Error absoluto medio

Answer

Error máximo