Integrales vectoriales: conceptos, ejercicios y cuestionarios

Question 1

¿Qué es una integral de línea?

Accepted Answer

Una integral calculada sobre una curva.

Answer

Una integral calculada sobre una superficie.

Answer

Una integral calculada sobre un volumen.

Answer

Una integral calculada sobre una región plana.

Question 2

¿Cuál de los siguientes campos vectoriales es irrotacional?

Accepted Answer

F(x, y, z) = (y, -x, 0)

Answer

F(x, y, z) = (x, y, z)

Answer

F(x, y, z) = (z, x, y)

Answer

F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)

Question 3

¿Qué relaciona el teorema de Stokes?

Accepted Answer

La integral de línea de un campo vectorial con la integral de superficie de su rotacional.

Answer

La integral de superficie de un campo vectorial con la integral de línea de su divergencia.

Answer

La integral de superficie de un campo escalar con la integral de línea de su gradiente.

Answer

La integral de volumen de un campo vectorial con la integral de superficie de su flujo.

Question 4

Teorema de Green:
¿Qué relaciona el teorema de Green entre la integral de línea de un campo vectorial F alrededor de una curva cerrada C y la integral doble sobre la región R encerrada por C?

Accepted Answer

La integral doble de (∂Q/∂x - ∂P/∂y)

Answer

La integral de superficie de F sobre una superficie S delimitada por C

Answer

La integral doble de (∂P/∂x + ∂Q/∂y)

Question 5

Definición de integral de superficie:
¿Cuál es la fórmula para calcular la integral de superficie de un campo vectorial F sobre una superficie S orientada?

Accepted Answer

∫∫∂S F · n dS

Answer

∮∫∂C F · T ds

Answer

∫∫∂C F · dr

Answer

∫∫∂C F·x dx + F·y dy + F·z dz

Question 6

Definición de divergencia:
¿Cómo se define la divergencia de un campo vectorial F?

Accepted Answer

∇ · F

Answer

∇ x F

Answer

rot F

Answer

F · ∇

Question 7

¿Qué teorema relaciona una integral de superficie sobre una superficie cerrada con una integral de línea sobre su contorno?

Accepted Answer

Teorema de Stokes

Answer

Teorema de la divergencia

Answer

No existe tal teorema

Answer

Teorema de Green

Question 8

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la divergencia de un campo vectorial?

Accepted Answer

∇ · F

Answer

F · ∇

Answer

∇ × F

Answer

F × ∇

Question 9

Un campo vectorial F es irrotacional si:

Accepted Answer

∇ × F = 0

Answer

F · F = 0

Answer

F = ∇φ

Answer

∇ · F = 0

Question 10

¿Cuál es la integral de superficie de un campo vectorial F sobre una superficie S?

Accepted Answer

∫∫S F · dS

Answer

∫∫S F × dS

Answer

∫∫S F · dr

Answer

∫∫S dF · S

Question 11

El teorema de Green relaciona una integral de línea sobre un contorno cerrado con una integral de:

Accepted Answer

Doble sobre la región interior

Answer

Triple sobre el volumen interior

Answer

De superficie sobre la superficie interior

Answer

De línea sobre el contorno de la región exterior

Question 12

¿Cuál de las siguientes integrales vectoriales representa el trabajo realizado por un campo vectorial F a lo largo de una curva C?

Accepted Answer

∫C F · dr

Answer

∫V F · dV

Answer

∫S F · dS

Answer

∫C F × dr

Question 13

El flujo de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada S es igual a:

Accepted Answer

∫∫S F · dS

Answer

∫∫S F × dS

Answer

∫C F · dr

Answer

∫V F · dV

Question 14

El teorema de la divergencia relaciona una integral de volumen sobre una región V con una integral de superficie sobre:

Accepted Answer

Su frontera ∂V

Answer

Su proyección sobre el plano XY

Answer

Su interior V

Answer

Su centroide

Question 15

La integral de línea de un campo vectorial **F** a lo largo de una curva **C** se define como:

Accepted Answer

La integral del producto escalar de **F** y el vector tangente a **C**, con respecto a la longitud de arco.

Answer

La integral del producto vectorial de **F** y el vector tangente a **C**, con respecto a la longitud de arco.

Answer

La integral de la magnitud de **F** con respecto a la longitud de arco.

Question 16

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial **F** alrededor de una curva cerrada simple **C** con:

Accepted Answer

La integral doble del rotacional de **F** sobre la región encerrada por **C**.

Answer

La integral doble de **F** sobre la región encerrada por **C**.

Answer

La integral de línea de **F** a lo largo de un segmento de línea dentro de **C**.

Question 17

Un campo vectorial se considera conservativo si:

Accepted Answer

Su integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.

Answer

Su rotacional es cero.

Answer

Su integral de línea a lo largo de cualquier curva es constante.

Question 18

La integral de superficie de un campo vectorial **F** sobre una superficie **S** se define como:

Accepted Answer

La integral del producto escalar de **F** y el vector normal a **S**, con respecto al área de la superficie.

Answer

La integral de la magnitud de **F** con respecto al área de la superficie.

Question 19

El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial **F** a lo largo de una curva cerrada **C** con:

Accepted Answer

La integral de superficie del rotacional de **F** sobre cualquier superficie **S** limitada por **C**.

Answer

La integral de superficie de **F** sobre cualquier superficie **S** limitada por **C**.

Question 20

La integral de volumen de un campo escalar **f** sobre un sólido **V** se define como:

Accepted Answer

La integral de **f** sobre el volumen **V**.

Answer

La integral de **f** sobre la superficie que limita **V**.

Answer

La integral de la derivada de **f** sobre el volumen **V**.

Answer

La integral del gradiente de **f** sobre el volumen **V**.

Question 21

El teorema de la divergencia relaciona la integral de superficie de un campo vectorial **F** sobre una superficie cerrada **S** con:

Accepted Answer

La integral de volumen de la divergencia de **F** sobre el volumen encerrado por **S**.

Answer

La integral de volumen de **F** sobre el volumen encerrado por **S**.

Answer

La integral de superficie del rotacional de **F** sobre la superficie **S**.

Question 22

Un campo vectorial es solenoidal si:

Accepted Answer

Su divergencia es cero.

Answer

Su rotacional es cero.

Answer

Su integral de superficie sobre cualquier superficie cerrada es cero.

Answer

Su integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.

Question 23

Calcula la integral de línea del campo vectorial **F(x, y) = (x^2, y^2)** a lo largo de la curva **C** dada por la parábola **y = x^2** desde (0, 0) hasta (1, 1).

Accepted Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

1/2

Answer

1

Question 24

Usa el teorema de Green para calcular la integral de línea del campo vectorial **F(x, y) = (x^2, y^2)** alrededor del círculo unitario **x^2 + y^2 = 1**.

Accepted Answer

π

Answer

2π

Answer

0

Answer

4π