Intersecciones de curvas y superficies: Cálculo y ecuaciones

Question 1

Determinar el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas **y = x** e **y = x²** alrededor del **eje x**. Expresa tu respuesta en términos de π.

Accepted Answer

π/2

Answer

π/4

Answer

2π

Answer

π

Question 2

Determinar la ecuación de la superficie tangente a la esfera **x² + y² + z² = 9** en el punto **(1, 1, 3)**. Expresa tu respuesta en forma de ecuación de primer grado Ax + By + Cz + D = 0.

Accepted Answer

x + y - z + 5 = 0

Answer

x + y + z + 5 = 0

Answer

x - y - z + 5 = 0

Question 3

Identifica los puntos de intersección de la curva y=sen(x) con la recta y=1.

Accepted Answer

(π/2, 1), (3π/2, 1)

Answer

(0, 0)

Answer

(π/4, 1), (5π/4, 1)

Question 4

Determina la intersección de la superficie z=x²+y² con el plano z=4.

Accepted Answer

Una circunferencia de radio 2 en el plano z=4

Answer

Un hiperboloide de una hoja

Answer

No se intersecan

Answer

Una parábola con vértice en el origen

Question 5

Calcula la intersección del cilindro x²+y²=4 con el plano z=2.

Accepted Answer

Dos circunferencias de radio 2 en el plano z=2

Answer

Un hiperboloide de dos hojas

Answer

No se intersecan

Answer

Una elipse con semiejes 2 y 4

Question 6

Determina el punto de intersección de la esfera x²+y²+z²=9 con el plano y=1.

Accepted Answer

Una circunferencia de radio 2 en el plano y=1

Answer

Una parábola con vértice en (0,1,0)

Answer

Un hiperboloide de una hoja

Answer

No se intersecan

Question 7

Identifica la intersección del cono z=√(x²+y²) con el plano z=2.

Accepted Answer

Una circunferencia de radio 2 en el plano z=2

Answer

Un hiperboloide de dos hojas

Answer

Una elipse con semiejes 2 y 4

Answer

No se intersecan

Question 8

Calcula la intersección de la superficie z=sen(x+y) con el plano z=0.

Accepted Answer

Una curva sinusoidal en el plano z=0

Answer

Un hiperboloide de una hoja

Answer

No se intersecan

Answer

Una parábola con vértice en el origen

Question 9

Identifica los puntos de intersección de la curva y=e^x con la recta y=3.

Accepted Answer

(ln 3, 3)

Answer

(0, 0)

Answer

(1, e)

Question 10

Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = e^x en el punto (0, 1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x - 1

Question 11

Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos P(1, 2, 3), Q(2, 1, 4) y R(3, 3, 5).

Accepted Answer

x + y + z = 10

Answer

x + y + z = 9

Answer

x + y + z = 11

Answer

x + y + z = 12

Question 12

Calcula la intersección de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 y el plano z = 1.

Accepted Answer

Un círculo

Answer

Una elipse

Answer

Una parábola

Answer

Una hipérbola

Question 13

Encuentra las proyecciones de la curva (y = x^2) sobre los planos (xy), (xz), (yz).

Accepted Answer

Proyección sobre (xy): (y = x^2); Proyección sobre (xz): (z = 0); Proyección sobre (yz): (x = 0)

Answer

Proyección sobre (xy): (y = x^2); Proyección sobre (xz): (z = y^2); Proyección sobre (yz): (x = 0)

Answer

Proyección sobre (xy): (x = y^2); Proyección sobre (xz): (z = 0); Proyección sobre (yz): (x = y)

Answer

Proyección sobre (xy): (x = y^2); Proyección sobre (xz): (z = x^2); Proyección sobre (yz): (y = 0)

Question 14

Halla la curva de intersección entre la superficie (z = xy) y el cilindro (x^2 + y^2 = 4).

Accepted Answer

(x^2 + y^2 = 4, z = 2sqrt{x y})

Answer

(x - y = 4, z = xy)

Answer

(x + y = 4, z = xy)

Answer

(x^2 - y^2 = 4, z = 2sqrt{x y})

Question 15

Encuentra el volumen del sólido limitado por las superficies (z = x^2 + y^2) y (z = 4).

Accepted Answer

8π

Answer

4π

Answer

16π

Answer

32π

Question 16

¿Cuál es la ecuación implícita de la esfera de centro en el origen y radio 5?

Accepted Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 25

Answer

x^2 + y^2 - z^2 = 25

Answer

x^2 - y^2 + z^2 = 25

Answer

y^2 + z^2 - x^2 = 25

Question 17

Encuentra la intersección entre el cilindro **C:** x^2 + y^2 = 4 y el plano **π:** z = 2.

Accepted Answer

La circunferencia x^2 + y^2 = 4 en el plano z = 2

Answer

No hay intersección

Answer

La elipse x^2/4 + y^2/9 = 1 en el plano z = 2

Answer

La parábola y^2 = 8x en el plano z = 2

Question 18

¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela al vector (2, 1, -1)?

Accepted Answer

r(t) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

Answer

r(t) = (2, 1, 3) + t(1, 2, -1)

Answer

r(t) = (2, 1, -1) + t(1, 2, 3)

Answer

r(t) = (3, 1, 2) + t(1, -1, 2)

Question 19

Halla la intersección entre el plano **π:** 2x - y + 3z = 6 y la esfera **S:** x^2 + y^2 + z^2 = 25.

Accepted Answer

Una circunferencia

Answer

Dos puntos

Answer

Una elipse

Answer

Una parábola

Question 20

Encuentra la intersección de la línea dada por la ecuación vectorial  r(t) = <1 + t, 2 - t, 3 + 2t> con el plano x + y + z = 6.

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

(0, 1, 5)

Answer

(2, 1, 3)

Question 21

Determina la curva de intersección entre el cilindro x² + y² = 4 y el plano z = 2x.

Accepted Answer

Una elipse

Answer

Una circunferencia

Answer

Una hipérbola

Answer

Una parábola

Question 22

Encuentra la ecuación paramétrica de la curva de intersección entre la superficie z = x² + y² y el plano z = 2.

Accepted Answer

x = cos(t), y = sin(t), z = 2

Answer

x = t, y = 2 - t, z = t² + (2 - t)²

Answer

x = t, y = 2, z = t² + 4

Answer

x = t, y = t², z = 2

Question 23

Determina la ecuación implícita de la superficie resultante de la intersección entre el paraboloide z = x² + y² y el cilindro x² + y² = 1.

Accepted Answer

z = 1

Answer

x² + y² = 1

Answer

z = x²

Answer

z = x² + y²

Question 24

La intersección de un plano con un cilindro circular recto puede ser:

Accepted Answer

Una elipse, una circunferencia o un punto

Answer

Solo una elipse

Answer

Solo una circunferencia

Answer

Solo un punto

Question 25

Encuentra la ecuación del plano que contiene la línea  r(t) = <1 + t, 2 - t, 3 + 2t> y el punto (2, 1, 0).

Accepted Answer

x + 2y - z = 4

Answer

x + y + z = 3

Answer

2x - y + z = 3

Answer

x - y + 2z = 1

Question 26

La intersección de un plano con un cono circular recto puede ser:

Accepted Answer

Una elipse, una hipérbola, una parábola o un punto

Answer

Solo una parábola

Answer

Solo una hipérbola

Answer

Solo una elipse

Question 27

Determina la intersección de la superficie z = x² + y² con la esfera x² + y² + z² = 4.

Accepted Answer

Un círculo

Answer

Una hipérbola

Answer

Una elipse

Answer

Una parábola

Question 28

Encuentra el punto de intersección de las curvas r(t) = y s(u) = <1 + u, 2u, 3u²>

Accepted Answer

(1, 1, 1)

Answer

(2, 4, 8)

Answer

(0, 0, 0)

Question 29

La intersección de dos superficies puede ser:

Accepted Answer

Una curva, un punto o un conjunto vacío

Answer

Solo una curva

Answer

Solo un punto

Answer

Solo un conjunto vacío