Puntos, rectas y planos en el espacio: cuestionarios interactivos

Question 1

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional?

Accepted Answer

2x + 3y - z + 5 = 0

Answer

y = mx + b

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Answer

(1, 2, 3) = (x, y, z)

Question 2

¿Qué representación vectorial de una recta es equivalente a la ecuación paramétrica r = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6)?

Accepted Answer

r = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t)

Answer

r = (4, 5, 6) + t(6, 5, 4)

Answer

r = (4, 5, 6) + t(1, 2, 3)

Answer

r = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)

Question 3

¿Cuál de los siguientes es un vector director del plano 2x + 3y - z + 5 = 0?

Accepted Answer

(2, 3, -1)

Answer

(1, 0, 1)

Answer

(3, 2, 1)

Answer

(0, 1, 2)

Question 4

¿Cuál es la distancia entre el punto (1, 2, 3) y el plano 2x + 3y - z + 5 = 0?

Accepted Answer

14/√14

Answer

14/5

Answer

5/√14

Answer

5/14

Question 5

¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 9)?

Accepted Answer

r = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3)

Answer

r = (4, 5, 6) + t(3, 3, 3)

Answer

r = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6)

Question 6

¿Cuál es la intersección de la recta r = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6) con el plano x + y - z = 0?

Accepted Answer

(3/2, 7/2, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(4, 5, 6)

Answer

(0, 0, 0)

Question 7

Calcular el vector director de la recta con ecuación vectorial **r** = (2, 1, 3) + t(1, -1, 2).

Accepted Answer

(1, -1, 2)

Answer

(3, -2, 1)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(-1, 1, -2)

Question 8

Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos A(1, 0, 1), B(2, 1, 2) y C(0, -1, 0).

Accepted Answer

x - y + z = 0

Answer

x + y + z = 0

Answer

x - y - z = 0

Answer

x + y - z = 0

Question 9

Calcular el área del triángulo formado por los puntos A(0, 0, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 0).

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 10

Selecciona la ecuación que representa a la recta que pasa por el punto (2, -1, 3) y tiene vector director (1, 2, -1).

Accepted Answer

x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 3 - t

Answer

x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 3 + t

Answer

x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 3 - t

Answer

x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 + t

Question 11

¿Cuál es el ángulo entre las rectas definidas por los vectores directores (1, 2, -1) y (2, -1, 3)?

Accepted Answer

63,43°

Answer

45°

Answer

120°

Answer

90°

Question 12

Determina si las rectas determinadas por los vectores directores (1, 2, -1) y (2, 4, -2) son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

Accepted Answer

Paralelas

Answer

Perpendiculares

Answer

Oblicuas

Answer

Coincidentes

Question 13

Calcula el volumen de la pirámide con base cuadrada cuya altura es 5 unidades de longitud y cuya base tiene un lado de 3 unidades de longitud.

Accepted Answer

15

Answer

25

Answer

10

Answer

20

Question 14

Determina la ecuación del plano que contiene la recta determinada por los puntos (1, 2, 3) y (4, 5, 1) y es perpendicular al plano x + y - z = 2.

Accepted Answer

2x + 2y - z = 11

Answer

x + y + z = 6

Answer

2x - y - z = 3

Answer

x - y + z = 2

Question 15

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los puntos, rectas y planos es falsa?

Accepted Answer

Un plano contiene siempre un número finito de rectas.

Answer

Un punto puede pertenecer a múltiples planos.

Answer

Una recta contiene siempre infinitos puntos.

Question 16

Identifica la ecuación vectorial que representa la recta que pasa por el punto P(1, 2, 3) y es paralela al vector director v = (2, 1, -1).

Accepted Answer

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

Answer

(x, y, z) = (2, 1, -1) + t(1, -2, 3)

Answer

(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(-1, 2, 1)

Answer

(x, y, z) = (2, 1, -1) + t(1, 2, 3)

Question 17

Dos planos son paralelos si...

Accepted Answer

sus vectores normales son paralelos.

Answer

sus ecuaciones tienen el mismo término independiente.

Answer

sus ecuaciones tienen la misma pendiente.

Answer

tienen el mismo punto de intersección con el eje z.

Question 18

Encuentra el punto de intersección entre la recta 'r' definida por el vector director v = (1, 2, -1) y el punto P(2, 3, 1) y el plano x - y + z = 2.

Accepted Answer

(3, 1, 0)

Answer

(1, 2, -1)

Answer

(4, 5, 2)

Answer

(2, 3, 1)

Question 19

Calcula el área del paralelogramo formado por los vectores a = (2, 1, 3) y b = (4, 2, -1).

Accepted Answer

√194

Answer

√20

Answer

√10

Answer

√28

Question 20

Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el punto medio de un segmento es verdadera?

Accepted Answer

Divide al segmento en dos partes iguales.

Answer

Es el punto con menor distancia a la recta que contiene al segmento.

Answer

Siempre se encuentra en el interior del segmento.

Answer

Es el punto más cercano a los extremos del segmento.

Question 21

Un punto en el espacio tridimensional se representa mediante:

Accepted Answer

Tres coordenadas (x, y, z)

Answer

Dos coordenadas (x, y)

Answer

Cuatro coordenadas (x, y, z, w)

Answer

Una coordenada (x)

Question 22

La ecuación vectorial de una recta en el espacio se expresa como:

Accepted Answer

r = p + tv, donde p es un punto de la recta y v es un vector director.

Answer

r = p + v, donde p es un punto de la recta y v es un vector director.

Answer

r = v, donde v es un vector director.

Answer

r = p + t, donde p es un punto de la recta y t es un escalar.

Question 23

Dos rectas en el espacio son paralelas si:

Accepted Answer

Sus vectores directores son paralelos.

Answer

Sus vectores directores son ortogonales.

Answer

Sus vectores directores son iguales.

Answer

Se intersecan en un punto.

Question 24

La ecuación general de un plano en el espacio se expresa como:

Accepted Answer

Ax + By + Cz + D = 0, donde A, B, C y D son constantes.

Answer

x + y + z = 0

Answer

Ax + By + Cz = 0, donde A, B y C son constantes.

Answer

Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes.

Question 25

Un vector normal a un plano es:

Accepted Answer

Un vector perpendicular al plano.

Answer

Un vector que pasa por un punto del plano.

Answer

Un vector que pasa por el origen.

Answer

Un vector paralelo al plano.

Question 26

La distancia entre dos planos paralelos se calcula mediante:

Accepted Answer

La distancia entre un punto de un plano y el otro plano.

Answer

La distancia entre dos puntos, uno en cada plano.

Answer

La diferencia entre las distancias entre los dos planos y un punto.

Answer

La suma de las distancias entre los dos planos y un punto.

Question 27

Dos planos son perpendiculares si:

Accepted Answer

Sus vectores normales son ortogonales.

Answer

Sus vectores normales son iguales.

Answer

Se intersecan en un punto.

Answer

Sus vectores normales son paralelos.

Question 28

Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 5, 6).

Accepted Answer

r = (1, 2, 3) + t(3, 3, 3)

Answer

r = (4, 5, 6) + t(1, 2, 3)

Answer

r = (4, 5, 6) + t(3, 3, 3)

Answer

r = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6)