Aplicaciones geométricas en Álgebra Lineal: Cuestionarios interactivos

Question 1

¿Cuál es la ecuación de la esfera con centro en el punto (1, 2, 3) y radio 5?

Accepted Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25

Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 5

Answer

(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 5

Answer

(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Question 2

Dada la recta (r: x - 2y + z = 0) y el plano (π: 2x + y - z = 3), ¿cuál es el punto de intersección entre la recta y el plano?

Accepted Answer

(2, 1, 4)

Answer

(3, 0, 3)

Answer

(0, 3, 2)

Answer

(1, 2, 3)

Question 3

Determina si el siguiente conjunto de vectores es una base para R3: v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (1, 1, 0).

Accepted Answer

Sí

Answer

Sólo un vector es linealmente independiente

Answer

Sólo dos de los vectores son linealmente independientes

Answer

No

Question 4

Encuentra la base ortonormal del subespacio generado por los siguientes vectores: v1 = (1, 1, 0) y v2 = (2, 1, 1).

Accepted Answer

((1/√2, 1/√2, 0), (-1/√6, 1/√6, 2/√6))

Answer

((1, 1, 0), (2, 1, 1))

Answer

((1, 0, 0), (0, 1, 0))

Question 5

Una recta en el espacio tridimensional se determina mediante:

Accepted Answer

Un vector director y un punto sobre ella

Answer

Dos vectores directores

Answer

Un vector normal y un punto

Answer

Dos puntos

Question 6

Determina si los planos (P: 2x+y-3z=6) y (Q: x-y+2z=1) son perpendiculares.

Accepted Answer

Sí

Answer

No

Answer

No se puede determinar con la información dada

Answer

Solo si alpha=0

Question 7

¿Cuál es la ecuación del plano que contiene al vector v = (2, 1, -1) y es perpendicular al plano x + y + z = 0?

Accepted Answer

2x + y - z = 0

Answer

x + 2y + z = 0

Answer

x - 2y - z = 0

Answer

2x - y + z = 0

Question 8

Dados los vectores **u** = (1, 2, 3) y **v** = (2, 3, 4), ¿cuál es el vector perpendicular a ambos?

Accepted Answer

(3, -6, 9)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(0, 0, 0)

Answer

(2, 3, 4)

Question 9

Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al vector **n** = (2, 1, -1).

Accepted Answer

2x + y - z = 1

Answer

2x + 3y + z = 12

Answer

x + 2y + 3z = 6

Answer

x - y + z = 0

Question 10

Determina la proyección ortogonal del vector **u** = (1, 2, 3) sobre el vector **v** = (2, 3, 4).

Accepted Answer

(4/13, 6/13, 8/13)

Answer

(1/2, 2/3, 3/4)

Answer

(2/13, 3/13, 4/13)

Answer

(0, 0, 0)

Question 11

Calcula el valor del parámetro **t** para el cual la recta **r**: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t es paralela al plano **π**: x + y - z = 2.

Accepted Answer

-1

Answer

2

Answer

0

Answer

1

Question 12

Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1).

Accepted Answer

x + y + z = 1

Answer

x - y + z = 0

Answer

2x + y - z = 8

Answer

x + 2y + 3z = 6

Question 13

Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela al vector director (2, 3, -1).

Accepted Answer

r = (1, 2, 3) + t(2, 3, -1)

Answer

r = (2, 3, -1) + t(1, 2, 3)

Answer

r = (1, 2, 3) + t(3, 2, -1)

Answer

r = (1, 2, 3) + t(-2, -3, 1)

Question 14

Calcula la inversa de la matriz A = [2 1; -1 2].

Accepted Answer

(1/5) * [2 -1; 1 2]

Answer

[2 -1; 1 2]

Answer

No tiene inversa

Answer

(1/5) * [-2 1; -1 -2]

Question 15

Dada la ecuación vectorial de una recta en R³, ¿cómo se expresa su ecuación paramétrica?

Accepted Answer

r = P + t * v, donde P es un punto de la recta y v es su vector director.

Answer

r = t * v, donde v es un vector director.

Answer

r = P + t * Q, donde P y Q son puntos de la recta.

Question 16

Dos planos en R³ son paralelos si y solo si...

Accepted Answer

sus vectores normales son proporcionales.

Answer

tienen un punto en común.

Answer

sus vectores directores son iguales.

Question 17

La distancia entre un punto P y un plano π en R³ se calcula como...

Accepted Answer

la magnitud de la proyección ortogonal del vector que une P con un punto de π sobre el vector normal del plano.

Answer

la magnitud del vector que une P con un punto de π.

Question 18

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la forma general de un plano en R³?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct

Answer

r = P + t * v

Answer

x/a + y/b + z/c = 1

Question 19

Un vector normal a un plano es un vector...

Accepted Answer

perpendicular al plano.

Answer

contenido en el plano.

Answer

paralelo al plano.

Answer

con el mismo sentido que el vector director del plano.

Question 20

Determinar si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: r1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t; r2: x = 2 + 2s, y = 1 + s, z = 1 - s.

Accepted Answer

Paralelas

Answer

No se puede determinar

Answer

Perpendiculares

Answer

Ninguna de las anteriores

Question 21

Calcular el producto escalar de los vectores (1, 2, 3) y (4, -1, 5).

Accepted Answer

13

Answer

21

Answer

25

Answer

17

Question 22

¿Cuál de las siguientes matrices representa una traslación de 2 unidades en el eje x?

Accepted Answer

[[1, 0, 0, 2], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 2], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]