Cambio de base y matrices de cambio de base: cuestionarios interactivos

Question 1

¿Qué es una base de un espacio vectorial?

Accepted Answer

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio

Answer

Un conjunto de vectores que forman un espacio vectorial

Answer

Un conjunto de vectores que no son linealmente independientes

Answer

Un conjunto de vectores que no generan el espacio

Question 2

¿Qué es una matriz de cambio de base?

Accepted Answer

Una matriz que transforma las coordenadas de un vector en una base a las coordenadas en otra base

Answer

Una matriz que transforma una base en otra

Answer

Una matriz que calcula las coordenadas de un vector

Answer

Una matriz que diagonaliza una matriz

Question 3

¿Cómo se calcula la matriz de cambio de base de la base B a la base C?

Accepted Answer

Aplicando el producto directo de las matrices de cambio de base de B a la base estándar y de la base estándar a C

Answer

Invertendo la matriz de cambio de base de C a B

Answer

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

Answer

Aplicando la fórmula de Gram-Schmidt

Question 4

¿Bajo qué condiciones una base es ortonormal?

Accepted Answer

Cuando los vectores de la base son ortogonales y de longitud 1

Answer

Cuando los vectores de la base son linealmente independientes y de longitud 1

Answer

Cuando los vectores de la base son ortogonales y de longitud diferente

Answer

Cuando los vectores de la base son linealmente independientes y de longitud diferente

Question 5

¿Cuál es la aplicación de las matrices de cambio de base en la práctica?

Accepted Answer

Transformar coordenadas entre diferentes sistemas de referencia

Answer

Diagonalizar matrices

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

Answer

Calcular el determinante de una matriz

Question 6

¿Qué propiedad debe tener una matriz para ser diagonalizable?

Accepted Answer

Tener autovalores distintos

Answer

Ser simétrica

Answer

Ser invertible

Answer

Tener columnas linealmente independientes

Question 7

¿Qué es un subespacio invariante?

Accepted Answer

Un subespacio que es transformado en sí mismo por una transformación lineal

Answer

Un subespacio que no es transformado en sí mismo por una transformación lineal

Answer

Un subespacio que es generado por los autovectores de una transformación lineal

Answer

Un subespacio que es generado por los vectores nulos de una transformación lineal

Question 8

Si x = [2, 1] en la base B = {(1, 0), (0, 1)}, ¿cuáles son las coordenadas de x en la base B' = {(1, 1), (0, 1)}?

Accepted Answer

[3, 1]

Answer

[2, 1]

Answer

[1, 3]

Question 9

Sea B = {(1, 0), (0, 1)} y B' = {(2, 1), (1, 1)}. ¿La base B' es una base para R^2?

Accepted Answer

Sí

Answer

No, porque no son linealmente independientes.

Answer

No, porque no abarcan todo R^2.

Answer

No, porque el conjunto es linealmente dependiente y no abarca todo R^2.

Question 10

Si P es una matriz ortogonal, ¿cuál es el determinante de P?

Accepted Answer

1 o -1

Answer

Menor que 0

Answer

0

Answer

Mayor que 0

Question 11

Si B = {(1, 0), (0, 1), (0, 0)} es una base para R^3, ¿cuál es la matriz de cambio de base de B a la base estándar?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]]

Question 12

Dados los vectores u = [1 2] y v = [3 4], encuentre la matriz de cambio de base de la base {u, v} a la base canónica de R^2.

Accepted Answer

[1 3; 2 4]

Answer

[-1 3; -2 4]

Answer

[3 1; 4 2]

Answer

[1 -3; 2 -4]

Question 13

Sea T: R^2 -> R^3 una transformación lineal definida por T(x, y) = [x + 2y 3x + y]. ¿Cuál es la matriz de T en la base {u, v} con u = [1 2] y v = [3 4]?

Accepted Answer

[1 3; 5 11]

Answer

[1 -3; 5 -11]

Answer

[-1 3; -5 11]

Answer

[3 1; 11 5]

Question 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el cambio de base es verdadera?

Accepted Answer

La matriz de cambio de base es invertible.

Answer

La matriz de cambio de base es siempre diagonalizable.

Answer

La matriz de cambio de base siempre es simétrica.

Answer

El cambio de base no afecta las operaciones vectoriales.

Question 15

Si P es una matriz de cambio de base, entonces P^-1 es:

Accepted Answer

La matriz de cambio de base de la base nueva a la base antigua.

Answer

La matriz de cambio de base de la base antigua a la base nueva.

Answer

La matriz de la transformación lineal que define el cambio de base.

Question 16

¿En qué casos el cambio de base no es posible?

Accepted Answer

Cuando las bases no tienen la misma dimensión.

Answer

Cuando las bases son ortogonales.

Answer

Cuando las bases son lineales.

Question 17

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si P es la matriz de cambio de base que diagonaliza a A, entonces:

Accepted Answer

P^-1AP es una matriz diagonal.

Answer

P^-1AP es una matriz ortogonal.

Answer

P^-1AP es una matriz triangular.

Answer

P^-1AP es una matriz simétrica.

Question 18

Una matriz de cambio de base representa:

Accepted Answer

La transformación lineal que relaciona las coordenadas de un vector en una base con las coordenadas del mismo vector en otra base.

Answer

Una matriz que representa la suma de dos vectores.

Answer

Una matriz que contiene los vectores de una base.

Answer

Una matriz que intercambia las filas y columnas de otra matriz.

Question 19

Si P es la matriz de cambio de base de una base B a una base B', ¿cómo se obtiene la matriz de cambio de base de B' a B?

Accepted Answer

Calculando la inversa de P (P^-1).

Answer

Calculando la transpuesta de P (P^T).

Answer

Multiplicando P por -1 (-P).

Answer

La matriz de cambio de base de B' a B es la misma que la de B a B'.

Question 20

Para que una matriz sea una matriz de cambio de base, debe ser:

Accepted Answer

Invertible.

Answer

Con determinante igual a 1.

Answer

Simétrica.

Answer

Diagonal.

Question 21

Si T: V → V es una transformación lineal, A es su matriz en la base B y A' es su matriz en la base B', ¿cuál es la relación entre A, A' y la matriz de cambio de base P de B a B'?

Accepted Answer

A' = P^-1AP.

Answer

A' = A^-1P.

Answer

A' = PA.

Answer

A' = PAP^-1.

Question 22

Si dos matrices representan la misma transformación lineal, pero en diferentes bases, ¿qué se puede afirmar sobre sus determinantes?

Accepted Answer

Sus determinantes son iguales.

Answer

El determinante de una es el inverso del determinante de la otra.

Answer

Sus determinantes son opuestos.

Answer

No se puede afirmar nada sobre sus determinantes.

Question 23

Un vector propio de una transformación lineal:

Accepted Answer

Mantiene su dirección al ser transformado, aunque su magnitud puede cambiar.

Answer

Siempre tiene norma 1.

Answer

Cambia su dirección y su magnitud al ser transformado.

Answer

Es un vector que siempre es igual a cero.

Question 24

La diagonalización de matrices se utiliza para:

Accepted Answer

Simplificar el cálculo de potencias de matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, entre otras aplicaciones.

Answer

Calcular el determinante de una matriz.

Answer

Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Answer

Encontrar la inversa de una matriz.

Question 25

Para que una matriz sea diagonalizable, debe cumplir la siguiente condición:

Accepted Answer

Tener tantos vectores propios linealmente independientes como su dimensión.

Answer

Ser invertible.

Answer

Tener determinante igual a 1.

Answer

Ser simétrica.