Aplicaciones de la derivada: Test interactivos y cuestionarios

Question 1

Halla los puntos críticos de la función (g(x) = sin(x) - cos(x)).

Accepted Answer

x = π/4 + kπ, k ∈ ℕ

Answer

x = π/4 + kπ/2, k ∈ ℕ

Answer

x = π/2 + kπ, k ∈ ℕ

Question 2

Determina la aceleración instantánea de un objeto cuya posición viene dada por (s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2) en el instante (t = 2).

Accepted Answer

(a = 6)

Answer

(a = 12)

Answer

(a = 2)

Answer

(a = 4)

Question 3

Calcula la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x + 1

Answer

x^2 - 4x

Answer

3x^3 - 4x

Answer

4x - x^2

Question 4

Calcula el valor del límite de la función f(x) = (sen x - cos x) / (x - π/4) cuando x tiende a π/4.

Accepted Answer

√2/2

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la derivada de una función?

Accepted Answer

Es la tasa de cambio instantánea de la función.

Answer

Es igual a la integral de la función.

Answer

Es siempre positiva.

Question 6

¿Cuál de las siguientes funciones NO es derivable en el punto x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sen(x)

Question 7

Si la derivada de una función f(x) es negativa para todo x en un intervalo, entonces:

Accepted Answer

La función f(x) es estrictamente decreciente en ese intervalo

Answer

La función f(x) tiene un máximo en x = 0

Answer

La función f(x) es estrictamente creciente en ese intervalo

Answer

La función f(x) tiene un mínimo en x = 0

Question 8

Para encontrar los máximos y mínimos locales de una función f(x), debemos hallar:

Accepted Answer

Los puntos donde la derivada es cero o no existe

Answer

Los puntos donde la segunda derivada es cero

Answer

Los puntos donde la función es continua

Answer

Los puntos donde la gráfica cambia de concavidad

Question 9

Una función f(x) tiene un punto de inflexión en x = 2 si:

Accepted Answer

La segunda derivada cambia de signo en x = 2

Answer

La función es discontinua en x = 2

Answer

La primera derivada cambia de signo en x = 2

Question 10

La concavidad de una función f(x) hacia arriba en un intervalo indica que:

Accepted Answer

La función es cóncava hacia arriba en ese intervalo

Answer

La función es convexa hacia arriba en ese intervalo

Answer

La función tiene un máximo en ese intervalo

Answer

La función tiene un mínimo en ese intervalo

Question 11

El método del valor medio establece que:

Accepted Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] tal que f(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] tal que f''(c) = 0

Answer

Existe un punto c en el intervalo [a, b] tal que f'(c) = 0

Question 12

Determinar si la gráfica de la función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el punto (1, 1).

Accepted Answer

Cóncava hacia arriba

Answer

No se puede determinar

Answer

Punto de inflexión

Answer

Cóncava hacia abajo

Question 13

Calcular la derivada de la función f(x) = e^(x^2).

Accepted Answer

f'(x) = 2xe^(x^2)

Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = e^(2x)

Question 14

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = ln(x) en el punto (1, 0).

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = 1

Answer

y = x

Answer

y = ln(x)

Question 15

Calcular la derivada de la función f(x) = sen(x^2 + cos(x)).

Accepted Answer

f'(x) = (2x - sen(x))cos(x^2 + cos(x))

Answer

f'(x) = 2xsen(x^2 + cos(x))

Answer

f'(x) = sen(x^2 + cos(x))

Answer

f'(x) = cos(x^2 + cos(x))

Question 16

Una empresa determina que su función de beneficio, en miles de euros, para un producto viene dada por  B(x) = -0.02x² + 4x - 10, donde x es la cantidad de unidades producidas. ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar el beneficio?

Accepted Answer

100 unidades

Answer

200 unidades

Answer

50 unidades

Answer

No se puede determinar con la información dada.

Question 17

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Su altura, h(t) en metros, después de t segundos viene dada por h(t) = 20t - 5t². ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota en el instante t = 2 segundos?

Accepted Answer

0 m/s

Answer

20 m/s

Answer

10 m/s

Answer

-10 m/s

Question 18

Dada la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1, ¿en qué intervalo es la función cóncava hacia abajo?

Accepted Answer

(-∞, 2)

Answer

(1, 3)

Answer

(2, ∞)

Answer

(-∞, 1) U (3, ∞)

Question 19

Se desea construir una caja rectangular abierta con una base cuadrada y un volumen de 108 cm³. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar la cantidad de material utilizado?

Accepted Answer

6 cm x 6 cm x 3 cm

Answer

12 cm x 12 cm x 0.75 cm

Answer

3 cm x 3 cm x 12 cm

Answer

9 cm x 9 cm x 1.33 cm

Question 20

La función f(x) = (x - 2)²(x + 1) tiene un punto crítico en x = 2. ¿Qué tipo de punto crítico es?

Accepted Answer

Punto de inflexión

Answer

No es un punto crítico

Answer

Mínimo local

Answer

Máximo local

Question 21

Un tanque cilíndrico se llena de agua a una tasa de 2 m³/min. Si el radio del tanque es de 3 metros, ¿a qué tasa está aumentando la altura del agua en el tanque?

Accepted Answer

2/(9π) m/min

Answer

2π m/min

Answer

18π m/min

Answer

9/(2π) m/min

Question 22

La aproximación lineal de la función f(x) = √x en el punto a = 4 es:

Accepted Answer

L(x) = 2 + (1/4)(x - 4)

Answer

L(x) = 4 + 2(x - 4)

Answer

L(x) = 4 + (1/4)(x - 4)

Answer

L(x) = 2 + (1/2)(x - 4)

Question 23

Se sabe que una función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b). Si f(a) = f(b), entonces:

Accepted Answer

Existe al menos un punto c en (a, b) tal que f'(c) = 0.

Answer

f(x) tiene un máximo o mínimo absoluto en el intervalo (a, b).

Answer

f(x) es constante en el intervalo [a, b].

Question 24

Un fabricante ha determinado que el costo total de producir x unidades de un producto viene dado por la función C(x) = 0.01x³ - 0.6x² + 13x + 1000. ¿Cuál es el costo marginal de producir la unidad número 100?

Accepted Answer

23 €/unidad

Answer

10 €/unidad

Answer

30 €/unidad

Answer

13 €/unidad

Question 25

La ecuación de la recta tangente a la curva y = x² - 3x + 2 en el punto (1, 0) es:

Accepted Answer

y = -x + 1

Answer

y = -2x + 2

Answer

y = x - 1

Answer

y = 2x - 2