Conceptos Básicos de Análisis Matemático II: Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas

Question 1

Un límite es un valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Nunca

Answer

Falso

Answer

Solo si la función es continua en ese punto

Question 2

¿Cuál de las siguientes propiedades es característica de las funciones continuas?

Accepted Answer

Tienen un límite finito en cada punto de su dominio.

Answer

Son diferenciables en todo su dominio.

Answer

Son crecientes en todo su dominio.

Answer

Tienen una derivada para todos los valores de su dominio.

Question 3

La derivada de una función mide la rapidez con la que varía la función respecto a su variable independiente.

Accepted Answer

Verdadero

Answer

Falso

Answer

Solo para funciones polinómicas

Answer

Solo si la función es continua

Question 4

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la derivada de la función f(x) = x^3 + 2x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 2

Answer

f'(x) = x^2 + 2

Answer

f'(x) = 3x

Answer

f'(x) = 2

Question 5

La función f(x) = sen(x) es:

Accepted Answer

Periódica con periodo 2π

Answer

Periódica con periodo π

Answer

No periódica

Answer

Solo periódica para valores positivos de x

Question 6

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el límite de una función en un punto es correcta?

Accepted Answer

El límite de una función en un punto es el valor al que tiende la función cuando la variable independiente se aproxima a ese punto.

Answer

El límite de una función en un punto es siempre igual al valor de la función en ese punto.

Question 7

¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en el punto x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sen(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 8

¿Cuál de las siguientes reglas de derivación es correcta?

Accepted Answer

La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de las funciones.

Answer

La derivada del cociente de dos funciones es el cociente de las derivadas de las funciones.

Answer

La derivada del producto de dos funciones es el producto de las derivadas de las funciones.

Question 9

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = x^3 - 2x^2 + 5?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x

Answer

f'(x) = x^2 - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = 5

Question 10

Considera la función f(x) = x² - 4. ¿Cuál es su dominio?

Accepted Answer

El conjunto de todos los números reales, R

Answer

El conjunto de los números racionales, Q

Answer

El conjunto de los números positivos, R⁺

Answer

El conjunto de los números enteros, Z

Question 11

¿Cuál de las siguientes funciones es derivable en todos los números reales?

Accepted Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Question 12

Define la monotonía creciente de una función.

Accepted Answer

Una función es monótona creciente si su derivada es positiva en todo su dominio

Answer

Una función es monótona creciente si su segunda derivada es positiva en todo su dominio

Answer

Una función es monótona creciente si su derivada es negativa en todo su dominio

Answer

Una función es monótona creciente si su segunda derivada es negativa en todo su dominio

Question 13

En el cálculo de integrales indefinidas, ¿cuál es el resultado de ∫(x² + 1) dx?

Accepted Answer

x³/3 + x + C

Answer

x³/2 + C

Answer

x² + x + C

Answer

x³ + C

Question 14

En el contexto de las funciones matemáticas, ¿qué se entiende por un punto crítico?

Accepted Answer

Un punto crítico es un punto donde la derivada es cero o no existe

Answer

Un punto crítico es un punto donde la función es discontinua

Answer

Un punto crítico es un punto donde la función cambia de signo

Answer

Un punto crítico es un punto donde la función alcanza su valor máximo

Question 15

Enuncia el teorema del valor medio para funciones en un intervalo cerrado [a, b].

Accepted Answer

Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Answer

Si una función es derivable en un intervalo, entonces es continua en ese intervalo

Answer

Si una función es continua en un intervalo, entonces es derivable en ese intervalo

Question 16

Comprueba la continuidad de f(x) = |x| en x = 0.

Accepted Answer

Continua

Answer

Discontinua de primera especie

Answer

No existe límite

Answer

Discontinua de segunda especie

Question 17

Calcula la derivada de f(x) = e^x + sen(x).

Accepted Answer

e^x + cos(x)

Answer

sen(x) + e^x

Answer

e^x - cos(x)

Answer

sen(x) - e^x

Question 18

Determina la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = x^3 - 2x en el punto (1, -1).

Accepted Answer

y = 3x - 4

Answer

y = x + 3

Answer

y = -x + 3

Answer

y = -3x - 4

Question 19

Determina si la función f(x) = x^4 + 1 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo (-∞, ∞).

Accepted Answer

Cóncava hacia arriba

Answer

Cóncava hacia abajo

Answer

Cóncava hacia arriba en (-∞, 0) y cóncava hacia abajo en (0, ∞)

Question 20

Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x) = (x + 2) / (x - 1).

Accepted Answer

Asíntota vertical: x = 1; Asíntota horizontal: y = 1

Answer

Asíntota vertical: x = 2; Asíntota horizontal: y = 2

Answer

Asíntota vertical: x = -1; Asíntota horizontal: y = -1

Question 21

¿Cuál de las siguientes opciones representa una función?

Accepted Answer

y = f(x)

Answer

y = ±√(-x)

Answer

y = x + y

Answer

y = x - 2x

Question 22

Define la condición para que una función f(x) sea continua en x = a:

Accepted Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a a existe y es igual a f(a)

Answer

El límite de f(x) cuando x tiende a a no existe

Answer

La función es derivable en x = a

Question 23

Calcula la derivada de la función f(x) = cos(x):

Accepted Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Answer

x * cos(x)

Answer

cos(x)

Question 24

Determina el límite de la función f(x) = (x² - 4)/(x - 2) cuando x tiende a 2:

Accepted Answer

4

Answer

No existe

Answer

0

Answer

2

Question 25

Justifica por qué la función f(x) = 1/x es discontinua:

Accepted Answer

No está definida en x = 0

Answer

Tiene un salto en x = 0

Answer

Derivada en x = 0

Answer

Continua en todo su dominio

Question 26

Calcula la derivada de la función f(x) = ln(x):

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

-1/x

Answer

x * ln(x)

Question 27

Relaciona la derivabilidad y la continuidad de una función f(x) en x = a:

Accepted Answer

Si f(x) es derivable en x = a, entonces es continua en x = a

Answer

No existe relación entre la derivabilidad y la continuidad en x = a

Answer

Si f(x) es continua en x = a, entonces es derivable en x = a

Answer

Si f(x) es discontinua en x = a, entonces es derivable en x = a