Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden: Cuestionarios y Ejercicios

Question 1

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una ecuación diferencial parcial de segundo orden?

Accepted Answer

u_xx - u_yy = 0

Answer

x*y + u = 0

Answer

u' + u'' = 0

Answer

2u_x - u_y = 0

Question 2

La ecuación diferencial parcial de Laplace ∇²u = 0 modela un campo de:

Accepted Answer

Potencial

Answer

Temperatura

Answer

Presión

Answer

Velocidad

Question 3

El método de separación de variables para resolver la ecuación de ondas u_tt - c²u_xx = 0 implica encontrar funciones:

Accepted Answer

Dependientes del tiempo y del espacio

Answer

Solo dependientes del tiempo

Answer

Dependientes de la temperatura y el espacio

Answer

Solo dependientes del espacio

Question 4

¿Cuál de los siguientes es un tipo de condición de contorno para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden?

Accepted Answer

De Dirichlet

Answer

De Gauss

Answer

De Bessel

Answer

De Laplace

Question 5

El método de características para ecuaciones cuasilineales de primer orden:

Accepted Answer

Convierte la ecuación en un sistema de ecuaciones ordinarias

Answer

Solo es aplicable a ecuaciones lineales

Answer

Requiere transformadas integrales

Answer

Implica separación de variables

Question 6

La solución general de la ecuación de Laplace en dos dimensiones se expresa como:

Accepted Answer

Una combinación lineal de funciones armónicas

Answer

Una función analítica

Answer

Una función periódica

Answer

Una función gaussiana

Question 7

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación diferencial parcial no lineal?

Accepted Answer

u_t + uu_x = 0

Answer

u_t - u_xx = 0

Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u_xx - u_yy = 0

Question 8

¿Cuál de las siguientes es una ecuación diferencial parcial de segundo orden lineal y homogénea?

Accepted Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

∂²u/∂x² + x∂u/∂y = y

Answer

∂³u/∂x³ + ∂²u/∂y²∂x = 0

Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = sin(x)

Question 9

Encuentre la solución general de la ecuación de calor unidimensional ∂u/∂t = α∂²u/∂x²:

Accepted Answer

u(x, t) = ∫[e^(-αk²t)cos(kx)dk

Answer

u(x, t) = cosh(x)sinh(αt)

Answer

u(x, t) = sin(x)e^(-αt)

Answer

u(x, t) = e^(x-αt)

Question 10

Encuentre la solución general de la ecuación de Laplace ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0:

Accepted Answer

u(x, y) = f(x) + g(y)

Answer

u(x, y) = 1/(x²+y²)

Answer

u(x, y) = sin(x)cos(y)

Answer

u(x, y) = e^(x+y)

Question 11

¿Cuál de las siguientes es una ecuación diferencial parcial de segundo orden hiperbólica?

Accepted Answer

∂²u/∂x² - ∂²u/∂t² = 0

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = u

Answer

∂³u/∂x³ + ∂u/∂t = 0

Question 12

Halla la solución general de la ecuación de ondas unidimensional ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²:

Accepted Answer

u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)

Answer

u(x, t) = e^(x-ct)

Answer

u(x, t) = sin(x)cos(ct)

Answer

u(x, t) = cosh(x)sinh(ct)

Question 13

Determinar el tipo de la siguiente ecuación diferencial parcial: ∂²u/∂x² + 2∂²u/∂x∂y + ∂²u/∂y² = 0

Accepted Answer

Elíptica

Answer

Parabólica

Answer

No se puede determinar

Answer

Hiperbólica

Question 14

¿Cuál de las siguientes es una ecuación diferencial parcial de segundo orden?

Accepted Answer

Ecuación de Laplace

Answer

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Answer

Ecuación integral

Answer

Ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden

Question 15

El método de separación de variables no es aplicable a la ecuación diferencial parcial:

Accepted Answer

u_xx + sen(u_y) = 0

Answer

u_xx + u_yy = 0

Answer

u_tt - u_xx = 0

Answer

u_xt + u_xx = 0

Question 16

La ecuación diferencial parcial que describe la difusión del calor en un sólido es:

Accepted Answer

u_t = k * u_xx

Answer

u_tt - u_xx = 0

Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u_xx + u_yy = 0

Question 17

El problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial de segundo orden consiste en:

Accepted Answer

Especificar condiciones iniciales y de contorno

Answer

Solo especificar condiciones iniciales

Answer

Solo especificar condiciones de contorno

Answer

No es necesario especificar condiciones

Question 18

La solución única del problema de Cauchy para la ecuación u_tt - u_xx = 0 está garantizada si:

Accepted Answer

Las condiciones iniciales y de contorno son continuas y compatibles

Answer

Las condiciones de contorno son suaves

Answer

Las condiciones iniciales son continuas

Question 19

El método de las características se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales:

Accepted Answer

Cuasilineales de primer orden

Answer

Cuasilineales de segundo orden

Answer

Lineales de segundo orden

Answer

No lineales de primer orden

Question 20

Clasifica la siguiente ecuación diferencial parcial: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Accepted Answer

Ecuación elíptica lineal de segundo orden

Answer

Ecuación hiperbólica lineal de segundo orden

Answer

Ecuación no lineal de segundo orden

Answer

Ecuación parabólica lineal de segundo orden

Question 21

¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales describe la difusión del calor en una barra unidimensional?

Accepted Answer

∂u/∂t = k ∂²u/∂x²

Answer

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²

Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Question 22

Determina el método de solución analítico más apropiado para resolver la ecuación de Laplace en un dominio rectangular:

Accepted Answer

Método de separación de variables

Answer

Método de diferencias finitas

Answer

Método de las características

Answer

Método de Monte Carlo

Question 23

Encuentra la representación compleja del potencial de velocidad para un flujo irrotacional bidimensional:

Accepted Answer

f(z) = φ(x, y) + iψ(x, y)

Answer

f(z) = ψ(x, y) + iφ(x, y)

Answer

f(z) = ψ(x, y) - iφ(x, y)

Answer

f(z) = φ(x, y) - iψ(x, y)

Question 24

Identifica el tipo de singularidad en el origen para la ecuación ∇²u + (x² + y²)u = 0:

Accepted Answer

Singularidad regular

Answer

Punto de ramificación

Answer

Singularidad irregular

Answer

Polo

Question 25

Para resolver la siguiente ecuación de transporte ∂u/∂t + u ∂u/∂x = 0, utilizando el método de las características, se debe:

Accepted Answer

Resolver la ecuación ordinaria resultante a lo largo de las características.

Answer

Aplicar la transformada de Laplace.

Answer

Utilizar el método de separación de variables.