Métodos Iterativos: Aprende a Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

Question 1

El método de Jacobi se caracteriza por:

Accepted Answer

Actualizar cada variable con su nueva aproximación inmediatamente después de calcularla

Answer

Converger más rápido que el método de Gauss-Seidel

Answer

Resolver todas las variables simultáneamente como en el método de Gauss

Question 2

¿Cuál de los siguientes criterios asegura la convergencia del método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

Matriz estrictamente diagonalmente dominante

Answer

Matriz invertible

Answer

Matriz definida positiva

Answer

Matriz simétrica

Question 3

¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones NO cumple el criterio de convergencia del método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

( egin{align} x_1 + 2x_2 &= 3, \ 2x_1 + x_2 &= 5. end{align} )

Answer

( egin{align} x_1 + 2x_2 &= 3, \ 3x_1 + 4x_2 &= 7. end{align} )

Answer

( egin{align} 2x_1 + x_2 &= 5, \ x_1 + 3x_2 &= 6. end{align} )

Question 4

El valor óptimo del factor de relajación (omega) para el método de relajación depende de:

Accepted Answer

Las características de la matriz del sistema y la técnica de solución empleada

Answer

Las aproximaciones iniciales

Answer

El número de iteraciones

Answer

El orden del sistema

Question 5

El método de Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¿Cuál es el requisito para aplicar este método?

Accepted Answer

La matriz del sistema debe ser diagonalmente dominante

Answer

La matriz del sistema debe ser invertible

Answer

La matriz del sistema debe ser simétrica

Answer

La matriz del sistema debe ser triangular

Question 6

Cuando se comparan los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para un sistema de ecuaciones lineales, ¿en qué caso generalmente converge más rápido el método de Gauss-Seidel?

Accepted Answer

Cuando la matriz del sistema es estrictamente diagonalmente dominante

Answer

Cuando la matriz del sistema es simétrica

Answer

Cuando la matriz del sistema es diagonal

Question 7

En el método de iteración de punto fijo, ¿qué representa el punto fijo?

Accepted Answer

Una solución de la ecuación f(x) = x

Answer

El error en la aproximación

Answer

Una aproximación inicial para la solución

Answer

El número de iteraciones necesarias para converger

Question 8

Los métodos iterativos con convergencia lineal tienen un orden de convergencia de:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Depende del método específico

Question 9

El método de Newton-Raphson para encontrar raíces de una ecuación no lineal tiene una convergencia:

Accepted Answer

Cuadrática

Answer

Exponencial

Answer

Cúbica

Answer

Lineal

Question 10

En el método de la secante, ¿cómo deben ser las aproximaciones iniciales para encontrar raíces de una ecuación no lineal?

Accepted Answer

Estar en lados opuestos de la raíz

Answer

Ser iguales

Answer

Ser muy cercanas a la raíz

Answer

Ser números aleatorios

Question 11

El criterio de convergencia para el método de Gauss-Seidel establece que:

Accepted Answer

La matriz de coeficientes debe ser diagonalmente dominante por filas

Answer

La suma de los valores absolutos de los coeficientes en cada fila debe ser menor que 1

Answer

Todos los coeficientes diagonales deben ser positivos

Question 12

Para aplicar el método de iteración de punto fijo, la ecuación original debe reescribirse en la forma:

Accepted Answer

x = g(x)

Answer

x = f'(x)

Answer

x = f(x)

Answer

x = g'(x)

Question 13

El método de bisección se puede utilizar para resolver ecuaciones no lineales siempre que:

Accepted Answer

La función sea continua y cambie de signo en el intervalo

Answer

La función sea cóncava y tenga un máximo

Answer

La función sea diferenciable y monótona

Question 14

El método de secante es similar al método de Newton-Raphson, pero en lugar de utilizar la derivada, utiliza:

Accepted Answer

La diferencia dividida finita

Answer

La integral definida

Answer

La derivada parcial

Question 15

En el método de eliminación gaussiana, la matriz de coeficientes se transforma en:

Accepted Answer

Una matriz triangular superior

Answer

Una matriz diagonal

Answer

Una matriz simétrica

Answer

Una matriz ortogonal

Question 16

El número de iteraciones necesarias para alcanzar una solución con una precisión dada utilizando el método de Jacobi:

Accepted Answer

Depende de la matriz de coeficientes y del valor inicial

Answer

Es inversamente proporcional a la precisión deseada

Answer

Es siempre un número fijo

Question 17

El método de Gauss-Seidel mejora el método de Jacobi al:

Accepted Answer

Utilizar valores actualizados en las iteraciones

Answer

Utilizar una representación gráfica

Answer

Utilizar la inversa de la matriz de coeficientes

Answer

Añadir un término de corrección

Question 18

Indica el criterio de convergencia para los métodos iterativos de resolución de sistemas lineales.

Accepted Answer

La norma del error |x[k+1] - x[k]| debe ser menor que un valor predeterminado para todas las incógnitas

Answer

La suma de las incógnitas debe ser cero

Question 19

¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones NO es adecuado para resolver mediante métodos iterativos?

Accepted Answer

Un sistema con matriz A singular

Answer

Un sistema con matriz A tridiagonal

Answer

Un sistema con matriz A diagonal dominante

Answer

Un sistema con matriz A simétrica positiva definida

Question 20

¿Qué método iterativo utiliza la información de las incógnitas actualizadas en cada iteración para calcular las nuevas aproximaciones?

Accepted Answer

Método de Gauss-Seidel

Answer

Método de Newton-Raphson

Answer

Método de Bisección

Answer

Método de Jacobi

Question 21

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la matriz de coeficientes A en los métodos iterativos es cierta?

Accepted Answer

Debe ser diagonalmente dominante y tener autovalores con partes reales negativas para garantizar la convergencia

Answer

Debe ser simétrica y positiva definida

Answer

Debe tener todos sus elementos positivos

Question 22

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que se puede utilizar para resolver:

Accepted Answer

Sistemas de ecuaciones no lineales

Answer

Ecuaciones integrales

Answer

Ecuaciones diferenciales

Answer

Sistemas de ecuaciones lineales

Question 23

Indica la orden de convergencia del método de Jacobi

Accepted Answer

Lineal

Answer

Cuadrática

Answer

Cúbica

Question 24

En el método de Jacobi, la matriz A debe ser:

Accepted Answer

Diagonal dominante

Answer

Simétrica

Answer

Triangular